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| 編輯推薦： |
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菲尔兹奖得主力作：皮埃尔-路易·利翁以深厚的数学功底，系统梳理不可压缩流体模型的数学框架，为理论研究者提供严谨的学术参考。前沿与经典交融：从牛顿流体基本方程到纳维-斯托克斯方程的新解分析，既涵盖传统理论，更聚焦存在性、正则性等未解难题的前沿探索。工具与方法并重：结合现代分析技术，详述数学工具在流体力学中的应用，助力读者掌握复杂模型的研究路径。
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| 內容簡介： |
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过去几十年来，应用数学领域具有挑战性的课题之一就是非线性偏微分方程理论的发展。力学、几何学、概率论等领域的许多问题在用数学术语表述时都会引出此类方程。然而，尽管非线性偏微分方程的贡献源远流长，但并不存在核心理论，最重要的进展来自于对特定应用中出现的特定方程和方程类别的研究。这两卷著作是关于流体力学模型各种数学问题的独特而严谨的论著。这些模型由不可压缩和可压缩纳维-斯托克斯方程等非线性偏微分方程系统组成。第 1 卷的主要重点是不可压缩模型的数学分析。在回顾了牛顿流体的基本描述之后，对经典的纳维-斯托克斯方程（包括非均质情况）和欧拉方程进行了独特的、自成一体的研究。书中介绍了关于解的存在性和正则性的已知结果和许多新结果，并给出了完整的证明。讨论包含许多有趣的见解和评论。文中特别强调了现代分析工具和方法的使用，还指出了许多有待解决的问题。
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| 關於作者： |
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皮埃尔-路易·利翁（Pierre-Louis Lions）是法国数学家，1956 年出生于格拉斯，1994 年获得菲尔兹奖。他于 1975 年进入高等师范学校学习。他致力于应用数学的研究，并于 1979 年在皮埃尔和玛丽居里大学获得学士学位。1979 年至 1981 年，他在法国国家科学研究中心担任研究员，1981 年成为巴黎多芬大学教授，1992 年至 2016 年成为巴黎综合理工学院应用数学教授。2002 年，他被任命为法兰西学院教授，担任 “偏导数和偏导数方程”讲座教授。
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| 目錄：
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第 1 章 模型的介绍 1
1.1 牛顿流体的基本方程 1
1.2 近似模型和简化模型 9
第一部分 不可压缩流体模型
第 2 章 密度相关纳维–斯托克斯方程 19
2.1 存在性结果 19
2.2 正则性结果和未解决的问题 31
2.3 先验估计结果和紧性结果 35
2.4 存在性的证明 64
2.5 唯一性：弱解等于强解 75
第 3 章 纳维–斯托克斯方程 79
3.1 已知结果简述 79
3.2 利用哈代（Hardy）空间改进弱解的正则性 92
3.3 二阶导数估计 98
3.4 温度与瑞利–贝纳尔方程 110
第 4 章 欧拉方程与其他不可压缩流体模型 124
4.1 已知结果简述 125
4.2 关于二维欧拉方程的评注 136
4.3 三维情况的估计？ 150
4.4 耗散解 153
4.5 密度相关欧拉方程 158
4.6 流体静力学近似 160
附录 A 索伯列夫（Sobolev）空间中的无源向量场的截断 165
附录 B 空间中的两个事实 173
附录 C 弱拓扑量对时间的紧性 177
附录 D 热传导方程的解的弱 L1 估计 178
附录 E 抛物型方程重正化解的存在性和唯一性的简短证明 183
第一卷和第二卷参考文献 196
索引 233
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| 內容試閱：
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本书旨在展示多种流体力学模型的各种数学结果，例如不可压缩流体和可压缩流体这两种模型的纳维–斯托克斯方程。这些结果多是新的，虽然也有部分内容已经公布于不同场合。我们给出每一个最新结果的完整证明并用尽量完备的形式呈现出来，对接受过（非线性）偏微分方程基本训练的读者实际上没有预备知识方面的更多要求。本书分为两卷，第一卷主要介绍不可压缩流体模型，第二卷关注可压缩流体模型和一些渐近问题。
在简要描述本书主题之前，我们想提醒读者注意，本书虽然回顾了相当多的文献，但并不自诩为流体力学方程现有数学结果的完整总结。我们只选择了我们认为最重要的结果，而这样的偏好必然导致该领域中许多重要贡献的遗漏，所以我们尽量通过一份相当广泛的参考文献清单加以弥补（一些参考文献没有在正文中引用）。我们还要提醒读者，本书只关注牛顿流体，而没有涉及许多重要的研究对象，例如上述模型的数值近似、湍流模型、解的定性性质（分岔理论、吸引子、惯性流形）、化学反应流、燃烧模型、磁流体动力学（MHD）、多相流和自由边界问题。此外，如我们所见，还有许多悬而未决的基本问题，我们会列出一份长长的清单。在欧拉（以及后来的纳维）引入流体力学方程两个多世纪之后，尽管我们已经（缓慢地）取得了相当大的进展，这些方程在数学上仍有许多未解之谜。我们仅仅希望本书能为在数学上理解各种流体力学模型这一艰巨任务做出些许贡献。
现在简述本书内容。在第一章中，我们首先回顾牛顿流体的基本方程以及基本的近似模型和简化模型，在后续各章中可以找到更多的模型。这里不赘述这些模型的由来，我们强烈建议读者查阅 G. K. Batchelor [25] 和 L. Landau、E. Lifschitz [281] 等经典著作。在本书参考文献中也可以找到许多相关的文献。
本书其余内容分为三部分。关于不可压缩流体模型的第一部分构成第一卷的主体，分为三章（第 2、3 和 4 章）。我们从第 2 章开始研究通常所说的密度相关纳维–斯托克斯方程。第 2.1 节介绍最一般的存在性问题，即任意维度上的弱解的全局存在性问题，并且密度可能为零（即在部分区域中允许有真空）。相关结果归功于 R. J. DiPerna 和本书作者（见 [126]、P. L. Lions [307]），他们推广了以前的结果（如 S. N. Antontsev、A. V. Kazhikov 和 V. N. Monakhov [17]， S. N. Antontsev 和 A. V. Kazhikov [16]，J. Simon [436]、[437]）。第 2.3 节和第2.4 节给出完整的证明，此前的第 2.2 节讨论正则性问题和定常问题，还提到各种尚未解决的问题，例如唯一性问题。在第 2.5 节中给出的唯一性问题的部分结果表明，只要强解存在，全局弱解就等于强解。
接下来的第 3 章介绍均质不可压缩流体的经典纳维–斯托克斯方程。在第 3.1节中，我们从第二章的分析中推导勒雷（J. Leray）关于弱解全局存在性的著名结果（[383]、[284] 和 [285]），并回顾能够在许多书中找到的关于纳维–斯托克斯方程的各种经典结论（例如，见 P. Konstantin 和 C. Foias [102] 及其参考文献）。第 3.2 节和第 3.3 节专门介绍三维空间中的正则性问题的一些最新结果，它们关系到 C. Guillop′e、C. Foias、R. Temam [203]，L. Tartar [470]，P. Konstantin [98]，R. Coifman、P. L. Lions、Y. Meyer 和 S. Semmes [95] 的结果的各种变体或推广。这些结果旨在更精确地估计全局弱解的正则性。最后的第 3.4 节简述通常所说的瑞利–贝纳尔（Rayleigh-B′enard）方程，并指出全局弱解存在性的相关结果。
第 4 章是第一部分的最后一章，其前四节专门介绍经典的欧拉方程。我们首先在第 4.1 节中回顾关于欧拉方程的各种技巧和研究现状。值得一提的是，在 A. Madja [316] 和 J. Y. Chemin [90] 中可以找到更多细节。然后，我们在第 4.2 节中给出关于二维情况的一些评注，以便比较弱解的多个概念并展示满足 L2 中几乎所有初始条件的弱解的存在性和唯一性。然后，我们在第 4.3 节中简要讨论三维情况下尚未解决的一个基本的先验估计问题，并给出在 R. J. DiPerna 和 P. L. Lions [126] 中引入的一些简单实例的某些细节；结果表明，这时无法给出“中间的”先验估计。最后，我们在第 4.4 节中引入“超弱解”的概念，我们称之为耗散解。耗散解的唯一优点在于其全局存在性，并且耗散解只要存在，就与经典解重合。结果表明，耗散解尽管很弱，却是一种非常有用的工具，可以用来从第三
部分中的一些可压缩流体模型恢复欧拉方程。最后两节专门介绍其他不可压缩流体模型，即第 4.5 节中的密度相关欧拉方程和第 4.6 节中通过流体静力学近似得到的一些模型。
附录 A—E 展示在第 2、3 和 4 章中使用的各种“技术”细节。
第二卷由第二部分和第三部分组成。第二部分论述可压缩流体模型，其前三章涉及通常所说的可压缩等熵流纳维–斯托克斯方程，并详细介绍 P. L. Lions [303]、[304]、[305] 的结果（及其证明）。第 5 章论述解序列的紧性。我们首先在第 5.1 节中解释在这类模型中遇到的一些困难，其原因是可能传播的密度振荡（与声学模态有关），然后在第 5.2 节中叙述关于紧性的可用结果，在第 5.3 节中讨论更困难一些的狄利克雷（Dirichlet）边界条件的情况。
第 6 章讨论可压缩等熵流纳维–斯托克斯方程的定常问题（或时间离散问题）。第 6.1 节（对于二维和三维的空间维度）叙述我们关于存在性和正则性的结果，第 6.2 节给出其证明，而第 6.3 节处理二维等温情况。所有这三节都与时间离散问题有关。本章最后的第 6.4 节介绍一些实际的定常问题.
第 7 章给出柯西（Cauchy）问题解的全局存在性结果。第 7.1 节介绍我们的主要结果，第 7.2 节和第 7.3 节分别给出两种“不同”的证明，它们主要依赖于第五章的结果和方法。最后，我们在第 7.4 节中考虑（从应用角度来看更现实的）其他一些边界条件的情况。
第八章是关于可压缩流体模型和相关方程组的其余结果和信息的汇总。第8.1 节考虑精确的可压缩流体模型，特别介绍关于存在性的一些相当初步的结果。第 8.2 节又回到等熵模型和等温模型，介绍关于全局存在性的一些与前面不同的结果。接下来的第 8.3 节和第 8.4 节研究浅水模型，主要给出 P. L. Lions 和 P. Orenga [309] 的结果。第 8.3 节讨论弱解的全局存在性，而第 8.4 节讨论光滑解的全局存在性。此后的第 8.5 节讨论一维可压缩等熵流的欧拉方程（即无黏性的情况），我们在这一节中分析了 R. J. DiPerna [124]，G. Q. Chen [92]，P. L. Lions、B. Perthame 和 E. Tadmor [311]，以及 P. L. Lions、B. Perthame 和 P. E. Souganidis [310] 的结果，还展示了一些新的上界（不仅适用于熵解，而且适用于所有弱解）。最后的第 8.6 节讨论一个试验性的低马赫（Mach）数模型，该模型直接受到 A. Majda [315] 的启发。
本书的最后一部分由单独的一章组成，专门讨论渐近极限。第 9.1—9.3 节介
绍在第七章中构造的可压缩等熵流纳维–斯托克斯方程的解的不可压缩极限（小马赫数，密度几乎恒定）。特别地，我们在第 9.1 节中考虑不可压缩流体纳维–斯托克斯方程全局弱解（勒雷解）的恢复问题，在第 9.2 节中考虑加强二维情况下收敛性的问题，在第 9.3 节中推导不可压缩流体欧拉方程的全局光滑解（在时间域上和两个空间维度上，以及在最大时间区间和三个空间维度上），该分析依赖于在第 4.4 节中引入的欧拉方程耗散解的概念。此后，我们在第 9.4 节中严格推导（恒定流的）线性化方程组，从而得到简单的声学极限。最后的第 9.5 节考虑可压缩等熵流纳维–斯托克斯方程的一些（均质类）渐近问题。
Pierre-Louis Lions
巴黎
1995 年 12 月
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