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| 編輯推薦： |
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起源于应用数学专业教学用书，奠定其坚实的理论基础；壮大于理工科各专业的加入，展现其广泛的应用领域；40多年的教学实践，映衬了计算机科技的发展与普及。
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| 內容簡介： |
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为理工科大学各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材. 其内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解法. 每章附有习题并在书末给出了部分答案，每章还附有复习与思考题和计算实习题. 全书阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学.
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| 關於作者： |
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李庆扬，清华大学教授，博士生导师(退休)，从事计算数学的科研和教学工作多年，曾编写过多本相关教材，而且一些教材产生很深远的影响
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| 目錄：
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第1章数值分析与科学计算引论(1)
1.1数值分析的对象、作用与特点(1)
1.1.1数学科学与数值分析(1)
1.1.2计算数学与科学计算(1)
1.1.3计算方法与计算机(2)
1.1.4数值问题与算法(2)
1.2数值计算的误差(3)
1.2.1误差来源与分类(3)
1.2.2误差限与有效数字(4)
1.2.3数值运算的误差估计(6)
1.3误差定性分析与避免误差危害(8)
1.3.1算法的数值稳定性(8)
1.3.2病态问题与条件数(9)
1.3.3避免误差危害(10)
1.4数值计算中算法设计的底层思维——迭代(12)
1.5数学软件(14)
评注(15)
复习与思考题(16)
习题(16)第2章插值法(18)
2.1引言(18)
2.1.1插值问题的提出(18)
2.1.2多项式插值(19)
2.2拉格朗日插值(19)
2.2.1线性插值与抛物线插值(19)
2.2.2拉格朗日插值多项式(21)
2.2.3插值余项与误差估计(22)
2.3均差与牛顿插值多项式(25)
2.3.1插值多项式的逐次生成(25)
2.3.2均差及其性质(26)
2.3.3牛顿插值多项式(27)
2.3.4差分形式的牛顿插值公式(28)
2.4埃尔米特插值(30)
2.4.1重节点均差与泰勒插值(30)
2.4.2两个典型的埃尔米特插值(31)
2.5分段低次插值(34)
2.5.1高次插值的病态性质(34)
2.5.2分段线性插值(35)
2.5.3分段三次埃尔米特插值(35)
2.6三次样条插值(36)
2.6.1三次样条函数(36)
2.6.2样条插值函数的建立(37)
2.6.3误差界与收敛性(40)
评注(40)
复习与思考题(41)
习题(42)
计算实习题(43)第3章函数逼近与快速傅里叶变换(45)
3.1函数逼近的基本概念(45)
3.1.1线性空间(45)
3.1.2范数与赋范线性空间(47)
3.1.3内积与内积空间(49)
3.1.4最佳逼近(51)
3.2正交多项式(52)
3.2.1正交函数族与正交多项式(52)
3.2.2勒让德多项式(54)
3.2.3切比雪夫多项式(56)
3.2.4切比雪夫多项式零点插值(59)
3.2.5其他常用的正交多项式(61)
3.3最佳平方逼近(62)
3.3.1最佳平方逼近与格拉姆矩阵(62)
3.3.2用正交函数族作最佳平方逼近(65)
3.3.3切比雪夫级数(68)
3.4曲线拟合的最小二乘法(69)
3.4.1最小二乘法及其计算(69)
3.4.2用正交多项式作最小二乘拟合(73)
3.5有理逼近(74)
3.5.1有理逼近与连分式(74)
3.5.2帕德逼近(76)
3.6三角多项式逼近与快速傅里叶变换(79)
3.6.1最佳平方三角逼近与三角插值(79)
3.6.2N点DFT与FFT算法(82)
评注(87)
复习与思考题(88)
习题(89)
计算实习题(90)第4章数值积分与数值微分(92)
4.1数值积分概论(92)
4.1.1数值积分的基本思想(92)
4.1.2插值型求积公式(92)
4.1.3代数精度(93)
4.1.4求积公式的余项(95)
4.1.5求积公式的收敛性与稳定性(95)
4.2牛顿柯特斯公式(96)
4.2.1柯特斯系数与辛普森公式(96)
4.2.2偶阶求积公式的代数精度(97)
4.2.3辛普森公式的余项(98)
4.3复合求积公式(99)
4.3.1复合梯形公式(99)
4.3.2复合辛普森求积公式(100)
4.4龙贝格求积公式(102)
4.4.1梯形法的递推化(102)
4.4.2外推技巧(103)
4.4.3龙贝格算法(104)
4.5自适应积分方法(105)
4.6高斯求积公式(108)
4.6.1一般理论(108)
4.6.2高斯勒让德求积公式(112)
4.6.3高斯切比雪夫求积公式(114)
4.6.4无穷区间的高斯型求积公式(115)
4.7多重积分(117)
4.8数值微分(119)
4.8.1中点方法与误差分析(119)
4.8.2插值型的求导公式(120)
4.8.3三次样条求导(122)
4.8.4数值微分的外推算法(123)
评注(124)
复习与思考题(124)
习题(125)
计算实习题(127)第5章解线性方程组的直接方法(128)
5.1引言与预备知识(128)
5.1.1引言(128)
5.1.2向量和矩阵知识回顾(128)
5.2高斯消去法(131)
5.2.1顺序高斯消去法(131)
5.2.2矩阵的三角分解(134)
5.2.3列主元消去法(136)
5.3矩阵三角分解法(139)
5.3.1直接三角分解法(139)
5.3.2平方根法(143)
5.3.3追赶法(146)
5.4与向量范数相容的矩阵范数(149)
5.5误差分析(152)
5.5.1矩阵的条件数(152)
5.5.2迭代改善法(157)
评注(158)
复习与思考题(159)
习题(160)
计算实习题(162)第6章解线性方程组的迭代法(164)
6.1迭代法的基本概念(164)
6.1.1引言(164)
6.1.2矩阵序列的极限(166)
6.1.3迭代法及其收敛性(167)
6.2雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法(171)
6.2.1雅可比迭代法(171)
6.2.2高斯塞德尔迭代法(172)
6.2.3雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法的收敛性(173)
6.3超松弛迭代法(175)
6.3.1逐次超松弛迭代法(175)
6.3.2SOR迭代法的收敛性(177)
6.3.3块迭代法(179)
6.4共轭梯度法(183)
6.4.1与方程组等价的变分问题(183)
6.4.2最速下降法(184)
6.4.3共轭梯度法(185)
评注(189)
复习与思考题(189)
习题(190)
计算实习题(192)第7章非线性方程与方程组的数值解法(193)
7.1方程求根与二分法(193)
7.1.1引言(193)
7.1.2二分法(194)
7.2不动点迭代法及其收敛性(196)
7.2.1不动点与不动点迭代法(196)
7.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性(197)
7.2.3局部收敛性与收敛阶(199)
7.3迭代收敛的加速方法(200)
7.3.1埃特金加速方法(200)
7.3.2斯特芬森迭代法(201)
7.4牛顿法(203)
7.4.1牛顿法及其收敛性(203)
7.4.2简化牛顿法与牛顿下山法(204)
7.4.3重根情形(206)
7.5弦截法与抛物线法(207)
7.5.1弦截法(207)
7.5.2抛物线法(208)
7.6求根问题的敏感性与多项式的零点(209)
7.6.1求根问题的敏感性与病态代数方程(209)
7.6.2多项式的零点(210)
7.7非线性方程组的数值解法(212)
7.7.1非线性方程组(212)
7.7.2非线性方程组的不动点迭代法(213)
7.7.3非线性方程组的牛顿迭代法(214)
评注(215)
复习与思考题(216)
习题(216)
计算实习题(218)第8章矩阵特征值计算(219)
8.1特征值性质和估计(219)
8.1.1特征值问题及其性质(219)
8.1.2特征值估计与扰动(220)
8.2幂法及反幂法(223)
8.2.1幂法(223)
8.2.2加速方法(227)
8.2.3反幂法(229)
8.3矩阵分解与正交变换(231)
8.3.1基本QR方法(231)
8.3.2豪斯霍尔德变换(235)
8.3.3吉文斯变换(238)
8.3.4舒尔分解与用正交相似变换约化一般矩阵为上黑森伯格矩阵(241)
8.4QR方法(245)
8.4.1带原点位移的QR方法(246)
8.4.2用单步QR方法计算上黑森伯格矩阵的特征值(246)
8.4.3双步QR方法(隐式QR方法)(250)
评注(252)
复习与思考题(252)
习题(253)
计算实习题(255)
第9章常微分方程初值问题数值解法(256)
9.1引言(256)
9.2简单的数值方法(257)
9.2.1欧拉法与后退欧拉法(257)
9.2.2梯形方法(259)
9.2.3改进欧拉公式(260)
9.2.4单步法的局部截断误差与阶(261)
9.3龙格-库塔方法(262)
9.3.1显式龙格-库塔法的引入(262)
9.3.2二阶显式R-K方法(263)
9.3.3三阶与四阶显式R-K方法(264)
9.3.4变步长的龙格-库塔方法(266)
9.4单步法的收敛性与稳定性(267)
9.4.1收敛性与相容性(267)
9.4.2绝对稳定性与绝对稳定域(269)
9.5线性多步法(272)
9.5.1线性多步法的一般公式(272)
9.5.2阿当姆斯显式与隐式公式(274)
9.5.3米尔尼方法与辛普森方法(276)
9.5.4汉明方法(277)
9.5.5预测-校正方法(277)
9.5.6构造多步法公式的注记和例(279)
9.6线性多步法的收敛性与稳定性(280)
9.6.1相容性及收敛性(281)
9.6.2稳定性与绝对稳定性(282)
9.7一阶方程组与刚性方程组(284)
9.7.1一阶方程组(284)
9.7.2化高阶方程为一阶方程组(285)
9.7.3刚性方程组(286)
评注(288)
复习与思考题(289)
习题(290)
计算实习题(292)
部分习题答案(293)
参考文献(297)
索引(299)
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| 內容試閱：
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本书第5版已经出版17年了，在此期间，深度学习、机器学习、大数据等与数学及计算机技术密切相关的人工智能分支都取得了突飞猛进的发展，数值分析的重要性也愈发凸显，开设“数值分析”课程的专业也逐渐增多，这些对“数值分析”课程提出了新的要求，为此，有必要对《数值分析》第5版进行适当的修改，以适应新的形势及新的变革.
数值分析涉及两方面的内容:一个是理论层面，包括解决一个数学问题的数值算法的原理阐述、收敛性、稳定性的分析等内容;另一个是实践层面，包括算法的具体实现，这涉及程序的编写和调试，具体算例的输入和输出等.在一般的教学环节(讲授、练习、考查等)中大多侧重于理论层面，而对实践层面的重视程度是不够的. 但数值分析这门课程是实践性很强的课程， 读者在需要具体实现某个算法的时候，可能就要自己查找相关的资料了. 为了弥补这方面的不足，此次修订对于各章中的主要算法给出了算法的MATLAB程序. 选择用MATLAB语言来编程，是因为MATLAB是最接近数学演算的科学计算语言， 其表达形式与框图的差距比较小，这样做既便于读者用这些程序来演练书中的算例， 也有助于读者对算法的理解，以及关注编程过程中要注意的问题，同时，还给出了一些例题的MATLAB程序及运算结果，同时为了便于读者使用MATLAB的内置函数，对于可以用内置函数实现的例题，也给出了内置函数的实现方式. 但限于教材的篇幅，将这部分内容放在云盘上，读者可以扫描各章末尾处的二维码获取.
在第5版中，图、表的编号是按章排序的， 因此图、表的编号是唯一的；但定义、定理、例的编号是各章独自排序的，没有反映出章的信息，因此一些编号是重复的; 公式的编号是各节独自排序的，也没有反映出章的信息，重复的编号更多. 为了使图、表、定义、定理、例、公式的编号唯一，此次修订将定义、定理、例、公式的编号均按章排序，并删去了后续表述中没有被引用的公式编号.
对几个回顾性质的概念，在表述时对其突出程度进行了调整，由原来赋予定义编号的突出方式，改为不赋予定义编号而在段中直接表述的一般方式，比如有效数字、线性相关、线性无关、特征值、特征向量等，而有的概念由原来不赋予定义编号而在段中直接表述的方式，改成赋予定义编号的突出方式，比如条件数.
对一些后续没有直接引用的内容进行了删减（如若当标准型定理）；添加了一些有助于丰富理论依据的内容（如格拉姆施密特正交化方法）. 出于内容衔接方面的考虑，对一些内容进行了移位，例如，将向量的范数与一般的范数内容合并在一起讲述；前移了关于格拉姆矩阵的定理；前移对称矩阵的特征值和特征向量的定理，为推导矩阵的2范数的表示形式提供理论依据；将对角占优矩阵的定义及其性质由迭代法收敛性部分移到追赶法前，为所讨论的三对角线方程组的解存在唯一提供理论依据；将矩阵的特征多项式的内容后移到矩阵的特征值和特征向量部分. 为了更直观地帮助读者理解所讲述的内容，添加了几张图和表，如在二维向量空间中几种单位范数所对应的图像，一些函数及其最佳平方逼近多项式的对照，最小二乘函数的选择过程，泰勒展开近似与帕德逼近的对比图，二元情形线性方程组的迭代法的几何背景，二元情形共轭梯度法的空间表示，多元非线性方程组解的复杂性展示等. 为了便于读者反向查阅，在书后安排了索引；另外，修改了一些表述，更正了一些例题中的数据.
如果学时不足，可略去加星号“”的小节.
本书的修订是在清华大学出版社及责任编辑刘颖博士的推动和支持下完成的， 在此对他们的支持和帮助表示衷心感谢.
本书第5版曾收到一些读者反馈的勘误信息，使存在的问题得以及时修正. 希望使用本书的老师和同学对本书存在的问题给予批评指正.
李庆扬
2024年11月
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