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| 編輯推薦： |
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《凸分析及应用捷径》可作为高年级本科生及研究生凸分析及其应用课程的教科书.也可供相关专业科研人员参考.
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| 內容簡介： |
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凸**化在数学、应用科学和实际应用的许多领域中的影响日益增长.现在许多大学正讲授它,而且被不同领域的研究人员应用.由于凸分析是凸**化的数学基础,深入的凸分析知识可帮助学生和研究人员更有效地利用其中的工具.《凸分析及应用捷径》的主要目的是提供一个容易进入到凸分析及其在**化中应用的*基础部分.变分分析的现代技术被用来阐明和简化凸分析中的一些基本证明,并且在有限维空间中建立凸函数和凸集的广义微分理论.我们还给出凸分析在选址问题以及许多令人感兴趣的几何问题,如Fermat-Torricelli问题、Heron问题、Sylvester问题及其推广中的新应用.当然,我们不期望触及凸分析的每个方面,但是对这个学科的初级教程来说《凸分析及应用捷径》包含足够的素材.它也可作为凸**化及应用课程的补充阅读材料.
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| 目錄：
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目录
译者序
前言
符号表
第1章凸集和凸函数1
1.1预备知识1
1.2凸集4
1.3凸函数9
1.4凸集的相对内部19
1.5距离函数25
1.6练习29
第2章次微分的运算33
2.1凸分离33
2.2凸集的法向量37
2.3凸函数的Lipschitz连续性43
2.4凸函数的次梯度47
2.5基本运算法则54
2.6**值函数的次梯度63
2.7支撑函数的次梯度68
2.8Fenchel共轭69
2.9方向导数74
2.10上确界函数的次梯度77
2.11练习81
第3章基于凸性的有名结果86
3.1可微性的刻画86
3.2Carath.eodory定理和Farkas引理88
3.3Radon定理和Helly定理92
3.4凸集的切锥93
3.5中值定理96
3.6地平锥98
3.7极小时间函数和Minkowski度规100
3.8极小时间函数的次梯度106
3.9Nash均衡109
3.10练习112
第4章在**化和选址问题中的应用116
4.1下半连续性和极小值点的存在性116
4.2**性条件121
4.3凸**化中的次梯度方法126
4.4Fermat-Torricelli问题132
4.5一个广义的Fermat-Torricelli问题138
4.6广义Sylvester问题151
4.7练习161
部分练习答案和提示164
参考文献175
索引177
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| 內容試閱：
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第1章凸集和凸函数
本章介绍Euclid空间Rn中凸集和凸函数的定义、例子和基本性质，也包含了一些相关的材料.
1.1预备知识
我们从回顾Euclid空间Rn的经典概念和性质开始.本节给出结果的证明可在高等微积分和线性代数的标准教科书中找到.
用Rn表示实数的n元数组x=x1;;xn的全体构成的集合，则在如下运算下Rn构成一个线性空间:
其中x1;;xn;y1;;yn2Rn;.2R:在不致引起混淆的情况下，Rn中的零元和R中的数零通常用相同的记号0表示.
对任意的x=x1;;xn2Rn，我们将其等同于列向量x=x1;;xnT，
其中记号“T”表示向量的转置.给定x=x1;;xn2Rn;y=y1;;yn2Rn，
x与y的内积定义为
下面的命题列出了Rn中内积的一些性质.
命题1.1对x;y;z2Rn;.2R，有
命题1.2对任意的x;y2Rn;.2R，有
利用Euclid范数可引入Rn中的球，另外球可用于定义Rn中其他的拓扑概念.
定义1.3以1x为中心，r0为半径的闭球和Rn的闭单位球分别定义为
定义1.4设-.Rn，则1x是-的一个内点，如果存在±0使得
的所有内点构成的集合记为int-.-称为是开的，如果-的每个点都是它的内点.
是开的当且仅当对每一个1x2-，存在±0使得B1x;±.-.显然，空集和全空间Rn是开的.而且，以1x为中心r为半径的任意开球B1x;r:=fx2
定义1.5集合-.Rn是闭的，如果它的余集-c=Rnn-在Rn中是开的.
因此，空集、全空间、任意球B1x;r在Rn中是闭的.
命题1.6iRn中任意开集族的并是开的.
iiRn中任意有限开集族的交是开的.
iiiRn中任意闭集族的交是闭的.
ivRn中任意有限闭集族的并是闭的.
定义1.7设fxkg是Rn中的序列，称fxkg收敛于1x，如果kxk.1xk!0当
由定义1.7可用来定义下面关于集合的重要的拓扑概念.
定义1.8设-是Rn的非空子集，则：
i-的闭包，记为-或cl-，定义为属于-的所有收敛序列的极限的全体.
ii-的边界，记为bd-，定义为集合-nint-.
我们能看到，-的闭包是包含-的所有闭集的交，-的内部是包含在-中的所有开集的并.由定义得1x2-当且仅当对任意的±0，有B1x;±\-6=.而
且，1x2bd-当且仅当对任意的±0，闭球B1x;±均与集合-和它余集-c相交.
1.1预备知识3
定义1.9设fxkg是Rn中的序列，fk`g是严格递增的正整数数列，则新序列fxk`g称为fxkg的子序列.
称一个集合-是有界的，如果它包含在一个以原点为中心，以某r0为半径
的球内，即-.B0;r.于是，序列fxkg是有界的，如果存在r0使得
下面重要的结果称为Bolzano-Weierstrass定理.
定理1.10Rn中的任何有界序列都包含收敛的子序列.
下面的概念在分析和**化中都起着非常重要的作用.
定义1.11称集合-在Rn中是紧的，如果-中的每个序列都有收敛于-中某点的子序列.
下面的结果是Bolzano-Weierstrass定理的推论.
定理1.12Rn的子集-是紧的当且仅当它是闭的和有界的.
对于Rn的子集-，-1和-2，以及.2R，定义运算：
易证下面的命题.
命题1.13设-1和-2是Rn的两个子集.
i如果-1是开的或者-2是开的，那么-1+-2是开的.
ii如果-1是闭的且-2是紧的，那么-1+-2是闭的.
先回顾实直线的子集有界性的概念.
定义1.14设D是实直线的子集，数m2R是D的一个下界，如果有
如果集合D有下界，那么它是下有界的.类似地，数M2R是D的一个上界，如果
那么D是上有界的，如果它有一个上界.而且，称集合D是有界的，如果它同时是下有界和上有界的.
下面给出集合的下确界和上确界的概念.
定义1.15设D.R是非空下有界的，D的下确界，记为infD，是D的**下界.当D是非空上有界时，它的上确界，记为supD，是D的*小上界.如果
D不是下有界上有界的，则令infD:=.1supD:=1:我们约定inf?:=1，
下面的基本公理确保这些概念是良好定义的.
完备性公理对于R的任何非空子集D，如果它是上有界的，那么它的*小上界存在且为一个实数.
利用完备性公理，易见如果非空集合是下有界的，那么它的**下界存在且为一个实数.
全书为方便起见将考虑增广实值函数，它在R:=.1;1]中取值.这里约定
定义1.16设f:-!R是增广实值函数，1x2-且f1x1，则称f在1x
是连续的，如果对8"0，9±0使得
称f在-上连续，如果它在-中的任意点处是连续的.
显然，由定义得如果f:-!R在1x是连续的其中f1x1，那么它在-
和以1x为中心，以某r0为半径的球的交集上是有限的.而且，f:-!R在1x连
续其中f1x1当且仅当对-中收敛于1x的任何序列fxkg，有序列ffxkg收敛于f1x.
定义1.17设f:-!R，1x2-且f1x1.称f在1x相对于-有局部极小值，如果存在±0，使得
又称f在1x相对于-有全局**极小值，如果
局部和全局极大值的概念可类似地定义.
在本节的*后，给出数学分析和**化中被称为Weierstrass存在性定理的基本结论.
定理1.18设f:-!R是连续函数，其中-是Rn的非空紧子集，则存在
在4.1节将给出一些定理1.18的“单边”版本.
1.2凸集
下面我们先研究集合凸性，接着研究凸函数.几何的思想在凸分析及其推广和应用中起着基本的作用，因此在本书中将利用几何的方法.
1.2凸集5
给定Rn中的两个元素a和b，定义区间线段
注意到如果a=b，则区间简化为单点集[a;b]=fag.
图1.1凸集和非凸集
命题1.20Rn的子集-是凸的当且仅当它包含它的元素的所有凸组合.
证明充分性是平凡的.为证必要性，下面用数学归纳法证明-中元素的任是-中的元素.当m=1;2时，根据定义直接得结论成立.
现固定正整数m2，假设-中任意k2N个元素的凸组合其中k6m属于-.给定凸组合注意到如果.m+1=1，则.1=.2==.m=0，因此y=!m+12-.在
①译者注:通常的写法是1 a+.b，如此则.刚好是以a与1 a+.b为端点的线段的长度与线段[a;b]长度的比，且.的取值是从0到1，刚好对应1 a+.b从a到b.原著写法的对应方向则相反.
因此有关系式
这样就完成了命题的证明.
命题1.21设-1是Rn的凸子集，-2是Rp的凸子集，则笛卡儿积-1￡-2
证明取定a=a1;a2;b=b1;b22-1￡-2，.2[0;1]，则有a1;b12-1，
从而蕴涵着
因此笛卡儿积-1￡-2是凸的.¤
下面给出仿射映射的定义.
定义1.22映射B:Rn!Rp是仿射的，如果存在线性映射A:Rn!Rp和元素b2Rp使得Bx=Ax+b;8x2Rn:
每个线性映射都是仿射的.而且，B:Rn!Rp是仿射的当且仅当现证集合的凸性在仿射运算下保持不变.
命题1.23设B:Rn!Rp是仿射映射.假设-是Rn的凸子集，￡是Rp
的凸子集，则B-是Rp的凸子集，B.1￡是Rn的凸子集.
证明任取a;b2B-，.20;1，则有x;y2-，使得a=Bx;b=By.
由于-是凸的，有.x+1 y2-.于是
这就证明了像B-的凸性.
证明由定义直接可得.
接下来研究凸集的交的凸性.
命题1.25设f-.g.2I是Rn的凸子集族，则T.2I-.也是Rn的凸子集.
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