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| 編輯推薦： |
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《空间几何常数》可作为基础数学专业泛函分析方向的研究生教材或参考书,也可供有关专业的教师和科研工作者参考.
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| 內容簡介： |
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Banach空间上几何常数是用来刻画空间几何性质*有效的方法之一.《空间几何常数》介绍了利用凸性模、光滑模等基本常数,研究Banach空间上一致非方常数、vonNeumann-Jordan常数、James型常数的若干性质,如这些常数与一致非方的关系、这些常数之间的联系等.《空间几何常数》共三章：第1章介绍了Banach超幂等预备知识.第2章介绍了vonNeumann-Jordan常数、James常数等几个重要几何常数.第3章介绍了这些常数的进一步推广，主要是James型常数和广义James常数及广义vonNeumann-Jordan的性质和一些特殊空间的常数的计算等.
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| 目錄：
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目录
第1章预备知识1
1.1Banach空间的超幂.1
1.2Clarkson不等式和Hanner不等式11
1.3几个具体空间的凸性模16
1.4一致凸与严格凸.20
1.5正规结构与一致正规结构26
第2章James常数、vonNeumann-Jordan常数、Dunkl-Williams常数34
2.1James常数与vonNeumann-Jordan常数的简单性质34
2.2James常数与vonNeumann-Jordan常数的关系47
2.3James常数、vonNeumann-Jordan常数与正规结构的关系51
2.4lp.l1空间的vonNeumann-Jordan常数58
2.5J.Bana.s-K.Fr.aczek空间的James常数与vonNeumann-Jordan常数65
2.6Zp;q空间的James常数与vonNeumann-Jordan常数71
2.7Bynum空间的James常数与vonNeumann-Jordan常数79
2.8Dunkl-Williams常数83
2.9高继常数与J:Bana.s光滑模.90
第3章James常数与vonNeumann-Jordan常数的推广97
3.1James型常数与vonNeumann-Jordan型常数.97
3.2l1.l1空间的James型常数.102
3.3l1.lpp2空间的James型常数107
3.4lp.l1空间的James型常数115
3.5广义vonNeumann-Jordan常数与广义James常数120
3.6弱序列常数与广义vonNeumann-Jordan常数及广义James常数的关系126
参考文献136
索引142
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| 內容試閱：
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第1章预备知识
本章首先介绍一些预备知识.
1.1Banach空间的超幂
设I是一个指标集，例如自然数集N.
定义1.1.1设F是I的一些子集构成一个非空集族，如果满足
则称F是I上的一个滤子.显然，I包含在一切滤子中.
例1.1.1设I是一个无限指标集，集族fAμI:InA是有限集g构成一个滤子，叫Fr.echet滤子.
例1.1.2若i02I，则F=fA:AμI;i02Ag构成一个滤子，叫平凡滤子或非自由滤子.
例1.1.3设X;.是拓扑空间，x2X，以x为内点的X子集合的全体，即x邻域系构成一个滤子，记为.
定义1.1.2I上的一个滤子U如果相对集合的包含关系是**的，则称它是一个超滤子.由Zorn引理，每个滤子都可包含在某个超滤子中.
定义1.1.3设I是一个集合，F0是I的一些子集构成的子集族，如果满足：
则称F0是一个滤子基.
对任意的一个滤子基F0，都可生成一个滤子：
例1.1.4设X;.是拓扑空间，x2X，以x为内点的开集的全体，构成一个滤子基.
定义1.1.4设X;.是拓扑空间，x2X，F为X上的一个滤子，称F收敛于x，如果对x的任意开邻域U，都存在A2F使得AμU.等价于x的邻域系UxμF:
定理1.1.1设U是一个I上的一个超滤子，则对任意集合AμI，要么A2U，要么其余集Ac2U.
证明令ATU=fATB:B2Ug;AcTU=fAcTB:B2Ug，则这两个集族中至少有一个不含空集.否则存在B1;B22U，使得
此与B1TB22U矛盾.
1如果?62ATU，则由滤子基ATU生成的滤子F就包含U，而U是超滤子，可知F=U，而A=ATI2F;故A2U.
2如果?62AcTU，类似可证Ac2U.
推论1.1.1对I上的一个超滤子U，如果A1SA2S￠￠￠SAn2U，则至少有一个.
推论1.1.2一个超滤子是平凡的充要条件是它包含有限集.
证明如果超滤子U含有fx1;x2;￠￠￠;xng，则由推论1.1.1，至少有一个i使得fxig2U，从而对任意A2U，有?6=fxigTA2U，故U是平凡的.
反之，如果U是平凡的，则存在x0使得对任意A2U有x02A，因故必有fx0gc62U，于是fx0g2U.
定义1.1.5I的超滤子U称为是可数完备的，如果它在可数交的条件下是封闭的.
定理1.1.2I的超滤子U是可数不完备的充要条件是存在U中一列元素
证明充分性显然.下证必要性：假设存在U中一列元素
知结论成立.
定理1.1.3设X;Y是两个集合，f:X!Y是满射，U是X上的超滤子，则F=ffA:A2Ug是Y上的超滤子.
证明显见?62F，如果A1;A22U，令M=fA1TfA2，易见M.
是一个滤子.如果F不是一个超滤子，则存在一个滤子F0使得F真包含在F0中.现取B2F0nF，令B=ff.1BTA:A2Ug.由于B62F，故f.1B62U，
下证B是一个滤子基，事实上，由F0是一个滤子，故对任意A2U有fATB6，可取y2BTfA，于是有a2A使得fa=y，因此a2f.1BTA，所以62B.显然由B生成的滤子，就真包含U因为f.1B62U，此与U是超滤子矛盾.
定义1.1.6设X;.是Hausdor.拓扑空间，x02X，U是I上的一个滤子，且xii2IμX，如果对x0的每个邻域N，有fi:i2I;xi2Ng2U，则称关于滤子U收敛于x0，记为
显然，上述极限如果存在必**.
定理1.1.4设K是一个Hausdor.拓扑空间，则K是紧空间的充要条件是对所有xii2IμK，及I上的非平凡超滤子U，有
证明设K是紧空间，且U是I上的非平凡超滤子，如果limUxi不收敛，则对每一点x2K，都存在一个邻域Nx，使得fi2I:xi2Nxg62U，于是由定理1.1.1可知，fi2I:xi62Nxg2U.由K是紧空间，故存在有限个这样的邻域
反之，假若K不紧，则存在一族开集fB.g.2I覆盖K，但没有有限子覆盖，令U是¤的具有有限余集的子集的全体构成的非平凡超滤子，则可验证fx.g.2¤关于U不收敛.事实上，假如它收敛于某点x0，并且x02B.0，那么应有f.:x.2B.0g2U，故其余集不在U，且是有限集，但由前面可知有无穷个x.62B.0中，从而矛盾.
注记1.1.1如果U是一个超滤子，fxng是某个度量空间中的集合，且lim=x0存在，则存在子列xnk在度量意义下收敛于x0.
注记1.1.2如果U是自然数集的一个超滤子，fxng是一个有界数列，则
定理1.1.5设X是拓扑线性空间，fxigi2I和fyigi2I是X的两个子集，U
是I上一个非平凡的超滤子，且lim
对a+b的任一邻域V，存在
a的邻域V1，b的邻域V2使得
故它们的交集也在U中，显然该交集是fi:xi+yi2Vg的子集，从而
设X是一个Banach空间，U是指标集I上的非平凡超滤子，记
则NU是l1X的一个闭线性子空间.
定义1.1.7商空间l1X=NUX称为Banach空间X关于某指标集I上的非平凡超滤子U的超幂.记为XU;其元素记为[xi]U，其中xi是该等价类中的一个代表元.可证如下等式：
事实上，对任意yi2[xi]U，有
结论成立.
注记1.1.3映射J:X!XU:x7![xi]U，其中;是一个等距嵌入，故常常把X看成XU的一个子空间.
定义1.1.8称Banach空间Y在X中有限可表示，如果对任意的"0和Y中任意有限维子空间Y1，存在从Y1到X的某个子空间X1上的同构T使得对任意的x2Y1有:
定理1.1.6Banach空间X的超幂XU在X中有限可表示.
证明对任意正数"及XU的任一有限维子空间是M的单位基，可取它们的代表元分别为x1
并定义线性映射Ti:M!Mi使得
故令N=Mi;T=Ti，就有T是M到N的"等距.
定理1.1.7设Y是可分Banach空间，且它在X中有限可表示，对每个可数不完备的超滤子U，则存在Y到X的超幂XU中的等距嵌入.
证明设U是I上可数不完备的超滤子，由定理1.1.2知，存在可数链I1.
另一方面，由Y是可分Banach空间，存在线性无关序列fxng1n=1，使得Y=spanfxng11.由于Y在X中有限可表示，故对每个自然数N，存在一个从XN到X的某个子空间上的
下面定义一个映射J:Y!XU，使得其中:如果
则令xmi=0;如果i2Im，则令xmi=Tnxm，这里n是满足nm并使得
事实上，对任意正数"，取Nmax.1
注记1.1.4容易证明，Hilbert空间的超幂也是Hilbert空间.
定义1.1.9设P是定义在Banach空间X上的一个性质，如果每个在X中有限可表示的空间也具有性质P，则称X具有超性质P.
由上面定理1.1.6和定理1.1.7可知：如果P是定义在Banach空间X上的
由可分性质决定的且被子空间继承的性质，则X有超性质P当且仅当X的每个超幂有性质P.
定义1.1.10[13]设X是Banach空间，8"0.定义X的凸性模和光滑模
分别定义为
其中BX表示X的闭单位球.
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