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| 編輯推薦： |
《几何学的力量》是《魔鬼数学》、数学家作者乔丹·艾伦伯格的新书，是一本关于几何学的精彩发展历程和丰富实践应用的普及读物，其间你将在欧几里得、毕达哥拉斯、庞加莱、费马、康威、牛顿等一众大咖“导师”的指引下，纵横于经济、政治、金融、大数据、宇宙等多个重要领域，探索一些重要的科学、政治、经济、哲学、医学、信息技术、生物学等问题背后的几何原理。
艾伦伯格用风趣诙谐、寓教于乐的文字告诉我们，几何学非但不是你人生中的“劫难”，更会成为你生活中的助力。这本书从读者身边的事物入手，比如吸管、数字货币、学校教育、股市、流行病等，抽丝剥茧解释在它们背后几何学扮演的重要角色，引导读者将几何学知识应用到自己的生活和工作中去，详细解答了读者的“我学了几何学究竟有什么用？”的疑问，并启迪和启发读者的创新思维。
“几何学”一词的最初含义是“丈量世界”，但经过漫长的发展历程，它的含义包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。如果你想知道几何学到底有什么用处，想用几何思维重新认识我们身边的世界，就跟随这本书去重新发现几何学的神奇力量吧。
? 你将在欧几里得、毕达哥拉斯、庞加莱、费马、康威、牛顿等一众大咖“导师”的指引
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| 內容簡介： |
在这本书中，《魔鬼数学》作者、数学家乔丹·艾伦伯格带领我们展开了一场海阔天空的探索之旅，旅程的终极意义是：通过发现几何学的力量，我们能够更好地思考每一个现实问题，重新认识我们身边的世界。
一根吸管有几个洞？尼姆游戏的必胜玩法是什么？数字货币交易中的公钥和私钥是怎么生成的？我们如何做才能阻止一场流行病肆虐世界？人工智能在学下国际象棋方面得心应手，而在学习朗读句子方面却力不从心，这是为什么？古希腊的黄金分割比能用来预测股票市场的走势吗？如果你的孩子真想学会思考的方法，他们应该在学校学些什么？所有这些问题都跟几何学有关，千真万确。
对大多数人来说，几何学是一门充斥着枯燥刻板习题的课程，高中一毕业，它就和你的牙套、你曾经追过的流行歌曲一起，被扔进了“故纸堆”。当提起几何学时，如果你首先想到的是如何通过一系列步骤证明关于三角形的某个显而易见的性质，那么这并不是几何学，而只是几何学的很小一部分。打个比方，三角形之于几何学，就好比一个动词之于一部精彩的小说。
这本书揭示了一些重要的科学、政治、经济、哲学、医学、信息技术、生物学等问题背后的几何原理，而这些问题都是我们在工作和生活中无法视而不见的。“几何学”一词的最初含义是“丈量世界”，但经过漫长的发展历程，它的含义包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。
我们生活在一座蓬勃生长、欣欣向荣的“几何城市”中。几何学并未超越时空，它就在我们身边，与日常生活中的各种推理交织在一起。打开这本书，你会在手不释卷的同时连连惊叹于几何学的伟大力量。
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| 關於作者： |
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乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg），美国威斯康星大学麦迪逊分校数学教授，拥有哈佛大学数学博士学位，他的专业研究领域是数论和代数几何。他写作的数学文章常见于《石板》《华尔街日报》《纽约时报》《华盛顿邮报》《连线》等知名报刊，他的代表作是《魔鬼数学》。
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| 目錄：
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引 言 事物在哪里？它们长什么样子？ / VII
非凡的魅力 / IX
第1章 我投欧几里得一票 / 001
僵化死板的教学方式 / 007
毕达哥拉斯定理的证明 / 009
笨蛋的难关 / 015
等腰三角形的定义 / 021
第2章 一根吸管上有多少个洞？ / 023
通过画得差的图形进行好的推理 / 028
诺特的裤子 / 033
莫比乌斯带和三体问题 / 036
第3章 给不同的事物赋予相同的名称 / 041
拉挤变换 / 044
庞加莱，我拉挤了时空！ / 048
第4 章 狮身人面像的碎片 / 053
蚊子问题和《天才少女》 / 057
尝一口就能知道整碗汤的味道 / 059
给《自然》杂志的一封信 / 064
随机游走到巴黎证券交易所 / 068
花粉颗粒似乎具有生命力 / 071
0 号沼泽 vs 1 号沼泽 / 073
马尔可夫链和香农信息论 / 077
第5 章 他的棋风就是不可战胜 / 085
阿克巴、杰夫和尼姆树 / 088
热爱树栖生活的人类 / 092
W局面和L 局面 / 098
以此类推 / 106
Nimatron先生的世界 / 110
非《软纽扣》不可吗？ / 116
大获全胜 / 120
我的程序员是上帝 / 123
非洲格拉斯哥开局 / 125
第6 章 试错法的神秘力量 / 129
宝石手链和费马大定理 / 132
费马小定理的逆命题 / 138
两名醉汉下围棋 / 139
无限维度的策略空间 / 146
第7 章 机器学习如同登山 / 151
贪婪是相当好的东西 / 154
我是对还是错？ / 158
深度学习和神经网络 / 162
车钥匙无处不在 / 169
第8 章 距离、家谱图和单词地图 / 171
所有英语单词的地图 / 175
第9 章 三年来的所有星期天 / 183
第10 章 今天发生的事明天还会发生 / 191
它们不是上帝最重要的思想 / 195
神奇数字R0 / 198
明年将会有77 万亿人感染天花 / 203
康威的数学游戏 / 205
辛普森悖论 / 207
哪枚金币是伪币？ / 208
流行病的数学模型 / 211
斐波那契数列和梵语诗歌 / 216
牛顿第二定律和差分方程 / 219
每个点都是临界点 / 221
第11 章 可怕的增长定律 / 223
派对把戏 / 230
但其中有些是有用的 / 235
曲线拟合师和逆向工程师 / 239
第12 章 香烟烟雾潜伏在烟叶中 / 243
南达科他州和北达科他州（上） / 245
黄金比例和波浪理论 / 255
南达科他州和北达科他州（下） / 260
揭秘谷歌的运行机制 / 265
和弦的音符和量子物理学 / 269
第13 章 空间的皱折 / 275
世界地图、比萨定理和北极熊 / 278
你的埃尔德什数是多少？ / 284
图像和书虫 / 288
远距离读心术和熵 / 296
世界上唯一的名字 / 303
小世界网络 / 307
第14 章 用数学思维破解选举“黑魔法” / 311
约瑟夫的攻击性地图 / 315
衰败选区和“格里蝾螈”行为 / 319
哪个政党是克雷奥拉州的当权派？ / 327
从艺术到科学的演变 / 331
别再踢唐老鸭了！ / 334
把晶砂人划分出去！ / 340
效率差距和浪费的选票 / 342
会撒谎的统计数字 / 348
错误的问题比错误的答案更糟糕 / 350
醉醺醺的选区地图 / 353
图像、树状图和洞的凯旋 / 360
一场关于三明治的口头辩论 / 365
从阴暗的密室到明亮的教室 / 372
结语 膨胀的房子和翩翩起舞的窗户 / 375
机器捕捉不到事实的灵魂 / 377
每个人都离不开几何学 / 383
致 谢 / 387
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| 內容試閱：
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引言 事物在哪里？它们长什么样子？
作为一名数学家，我经常在公共场合谈论数学，这似乎能帮助人们解开某些谜团。他们会告诉我一些事情，我感觉那些都是他们长时间深埋心底的故事。其中一些故事与数学有关：有时它们是悲伤的，例如，一名数学老师无缘无故地践踏了一个孩子的自尊心；有时它们是快乐的，例如，一个孩子受到启发后茅塞顿开，或者一个成年人怎么也找不到回家的路了（事实上，这个故事也有点儿悲伤）。
这些故事常跟几何学有关。在人们对中学时期的记忆中，几何学是那么另类，犹如交响乐中冒出来的异常大声的不和谐音调。有些人憎恶几何学，他们告诉我，从开始学习几何学的那一刻起，数学就超出了他们的理解范围。但也有些人告诉我，几何学是数学中他们唯一能弄懂的部分。几何学就像数学这道大餐中的香菜一样，人们对它要么甘之如饴，要么避之不及。
是什么让几何学变得如此与众不同呢？在某种程度上，它是原始的，根植于我们的身体。自出生之日起，我们就开始思考两个问题：事物在哪里？它们长什么样子？有些人会告诉你，所有与我们的内心生活息息相关的事情，都可以追溯到非洲稀树草原上那群狩猎采集者的需求。我不认同这种说法，但我也无法否认，那些原始人在学会用语言谈论形状、距离和地点之前，对这些概念就有所了解了。南美的神秘主义者（及南美以外地区的模仿者）喝下死藤水（一种宗教致幻剂）后，会在第一时间（好吧，是在不受控制地呕吐后的第一时间）感知到一些纯粹的几何形状，例如，像传统清真寺里反复出现的格栅一样的二维图形，或者像
由六面体巢室排列而成的蜂巢一样的三维图形。即使在我们失去了其他推理思维的情况下，几何学也不会抛弃我们。读者朋友，让我开诚布公地告诉你们：起初我对几何学毫无兴趣。这的确令人难以理解，毕竟我现在是一位数学家，而且我的工作就是跟几何学打交道！
但是，自从我和其他孩子组队参加数学联赛，一切就都变得不一样了。是的，一场数学联赛。我所在中学的参赛队伍名叫“地狱天使”，我们每次上场比赛都穿着黑色T恤，带着一台手提录音机，播放着休伊·刘易斯和新闻乐队演唱的歌曲“Hip to Be Square”（《洗心革面》）。我在那场联赛中“出名”了：只要遇到“证明∠APQ = ∠CDF”之类的问题，我就会止步不前。这并不是因为我不会解答这类问题，而是因为我使用的是最笨、最麻烦的方法：给图中的多个点逐一分配坐标值，然后通过大量的代数运算和数值计算，求出三角形的面积和线段的长度。事实上，只要运用有效的几何方法就可以避免这些烦琐的步骤。我得出的答案有时是对的，有时是错的，但每次的解题过程都非常痛苦。
如果世界上有几何天赋这种东西，那我肯定没有。我们可以给婴儿做几何测试：以两幅为一组，连续向婴儿展示一系列图片，其中大多数组别中的两幅图片展示的形状都相同，但大约每隔三组，右边的那幅图片展示的形状就会与左边的那幅图片相反。婴儿会花更多的时间去看那些相反的形状，这表明他们知道“有事情发生了”，他们追求新奇事物的头脑也会迅速做出反应。婴儿凝视镜像形状的时间越长，他们在学龄前期的数学和空间推理测试中的得分就越高，也能更快、更准确地想象出不同的形状，以及这些形状旋转或粘在一起后的样子。至于我，我几乎完全不具备这种能力。你知道加油站的刷卡机上贴的那个小图片吧？它会告诉你刷信用卡时卡片应该朝着哪个方向。但是，它对我毫无用处，因为我的大脑无法把那幅平面图转化成三维动作。每次刷卡，我都不得不把 4 种可能的朝向尝试一遍——磁条向上朝右、磁条向上朝左、磁条向下朝右、磁条向下朝左——直到机器开始读卡。
然而，人们通常认为几何学对现实世界的一些运算而言至关重要。凯瑟琳·约翰逊是美国国家航空航天局（NASA）的一位数学家，她因为《隐藏人物》这本书及同名电影的主人公而出名。谈到她早年间在飞行研究部门取得的成功时，凯瑟琳说：“那些家伙都有数学硕士学位，但他们彻底忘记了他们学过的几何知识……而我还记得我学过的几何知识。
非凡的魅力
威廉·华兹华斯的自传体长诗《序曲》（The Prelude）讲述了一个有点儿令人难以置信的故事：一个人在遭遇海难后漂流到一座无人岛上，他身上除了一本欧几里得的《几何原本》之外别无他物。大约 2 500 年前，这本书阐述的几何公理和命题使几何学变成了一门正式学科。对一个遭遇海难的家伙来说，他的运气还算不错：尽管他饥肠辘辘、心情沮丧，但他可以用树枝在沙滩上作图，通过逐一验证欧几里得的证明过程，打发独居荒岛的寂寞时光。而这恰恰是步入中年的华兹华斯向往的人生——年轻、敏感、富有诗意。诗人写道：这些抽象的概念，对终日与图形为伍、形单影只的心灵而言，是多么富有魅力啊！（饮用死藤水的人也有类似的感受，这种药物会对大脑产生影响，让自认为陷入困境的大脑得到解脱。）
华兹华斯的“海难–几何学”故事的最奇怪之处在于，它基本上是真实的。华兹华斯从约翰·牛顿的回忆录中借用了这个故事，其中有几行诗句更是原样照搬过来的。1745 年，年轻的奴隶贩子约翰·牛顿被困在塞拉利昂附近的普兰廷岛上。他没有遭遇海难，而是被他的老板扣留在那里，过着无所事事、食不果腹的生活。普兰廷岛也不是一座无人岛，除了他以外，那里还住着一些非洲奴隶。他主要的痛苦来源是一名控制食物流通的非洲妇女，用牛顿的话说，这是“一个在她的国家拥有重要地位的人”。牛顿百思不得其解自己为什么会落到这步田地，他抱怨道：“这个女人从一开始就对我抱有莫名其妙的偏见。”
几年后，差点儿死在海上的牛顿开始信奉宗教，成了一名圣公会牧师，还创作了基督教赞美诗《奇异恩典》（Amazing Grace，它对人们抑郁时应该读什么书给出了截然不同的建议）。最后，他宣布不再从事奴隶贸易，并成为大英帝国废除奴隶制运动的一员干将。现在，我们回过头讲他在普兰廷岛上的生活。没错，他随身带着一本书——艾萨克·巴罗英译版的欧几里得《几何原本》。在那段黑暗的日子里，这本书中的抽象概念给了他莫大的心理安慰。他写道：“我常常沉迷其中，几乎忘记了自己的悲伤。”
华兹华斯借用了牛顿的“沙滩–几何学”故事，而这并不是他与该学科仅有的亲密接触。与华兹华斯同时代的托马斯·德·昆西在《一个鸦片吸食者的忏悔录》（Confessions of an English Opium-Eater）中写道：“华兹华斯是一个彻头彻尾的数学崇拜者，尤其是对高深莫测的几何学。这种崇拜源于抽象世界和激情世界之间的对立。”上学期间，华兹华斯的数学成绩很糟糕，但他与年轻的爱尔兰数学家威廉·哈密顿建立了惺惺相惜的友谊。有些人认为，正是因为受到哈密顿的启发，华兹华斯才会在《序曲》中写出描述牛顿（是艾萨克·牛顿而不是约翰·牛顿）的著名诗句：“一个灵魂，永远孤独地航行在陌生的思想海洋中。”
对像我这样的数学专业人士来说，当看到人们被互联网上的一道数学问题难住，一两天都不得其解时，这绝对是一大乐事。我们愿意看到其他人发现并享受我们一生都乐在其中的思维模式。如果你有一座非常漂亮的房子，那你肯定喜欢有人意外来访。
以这种方式出现的问题通常都是好问题，尽管它们一开始看起来可能很无聊。而吸引你注意力的东西是，那种与一个真正的数学问题不期而遇的感觉。
例如，一根吸管上有多少个洞？
我问过的大多数人都认为这个问题的答案显而易见。但是，在得知某些人眼中显而易见的答案与自己的答案不同时，他们都表现得非常惊讶，有时甚至有点儿愤愤不平。这是“You’ve got another think coming”（你错了，再好好想想吧）与“You’ve got another thing coming”（你还有一件事要做）的数学版辨误问题。
据我所知，“一根吸管上有多少个洞？”的问题最早出现在《澳大利亚哲学杂志》（Australasian Journal of Philosophy）于 1970 年刊登的一篇论文中，斯蒂芬妮·刘易斯和戴维·刘易斯夫妇在这篇文章中讨论的管状物是一个纸巾卷筒。2014 年，这个问题以民意调查的形式再次出现在一个健身论坛上。其争论的腔调与《澳大利亚哲学杂志》不同，但争议的内容是一样的。“0 个洞”、“1 个洞”和“2 个洞”的答案都得到了不少人的支持。
随后，Snapchat（色拉布，一款“阅后即焚”的照片分享应用）上出现了一段视频：因为 2 个洞和 1 个洞的争论，两名大学生好友变得火冒三丈、怒目相向。这段视频不断传播，最终的浏览量超过 150 万次。吸
管问题在Reddit（红迪网，一家社交新闻网站）和推特上也风靡一时，还登上了《纽约时报》。BuzzFeed（一家新闻聚合网站）的一群年轻、有魅力的员工对这个问题备感困惑，他们为此拍摄了一段视频，也收获了几十万次的点击量。
你可能已经开始思考那几个主要的观点了，让我们把它们罗列出来吧：
0个洞：把一块长方形的塑料卷起来，然后用胶水将接口处粘住，一根吸管就做好了。长方形塑料上没有洞，当你把它卷起来时，也不会在上面留下任何洞。所以，它仍然没有洞。
1个洞：这个洞就是吸管的中空部分，从顶端一直延伸到底端。
2个洞：看一眼就知道了！吸管的顶端有1个洞，底端也有1个。
我的第一个目标是让你相信这些洞确实会让你感到困惑，即使你不这样认为。原因在于，上述三种观点都存在严重的问题。
我先来驳斥“0 个洞”观点的支持者。有些东西即使不被移除任何部分，也可以产生洞。做百吉圈（一种硬面包）时，我们并不是先做比亚利面包卷，然后在中间打洞，而是先把面团揉搓成蛇形，然后将其两端相连，百吉圈就做成了。如果你否认百吉圈上有个洞，那么毋庸置疑，你会遭到纽约、蒙特利尔和世界各地的任何一家正宗熟食店的嘲笑。
关于“2个洞”的观点呢？这里有一个问题要考虑：如果一根吸管上有2个洞，那么其中一个洞的洞底在哪里？另一个洞的洞口又在哪里？如果你不介意，可以想象有人让你数一块瑞士干酪上有多少个洞，你会分
别计数干酪顶部的洞和底部的洞吗？
或者，把吸管底端的洞堵住，这样一来，“2 个洞”观点的支持者所说的底端那个洞就消失了。从本质上讲，现在这根吸管变成了一个又高又细的杯子。杯子上有洞吗？是的，你会说它顶部的开口就是一个洞。好吧，如果这个杯子变得越来越短、越来越粗，最终变成一个烟灰缸呢？当然，我们不会把烟灰缸的上缘称作“洞”。但是，如果这个洞是在从杯子到烟灰缸的变化过程中消失的，那么它到底是何时消失的呢？
你可能会说，烟灰缸上仍然有 1 个洞，因为它有一个凹陷处或一个负空间，那里可以容纳物质，但实际上没有任何物质。你坚持认为洞不一定要“贯穿到底”，那你不妨“思考一下，我们说地上有个洞，是什么意思呢？”。这是一个公平合理的反对理由，但我认为，如果我们在什么算作洞的标准问题上过于宽松，而把任何凹陷都当成是洞，就会让这个概念失去有效性。当你说水桶上有个洞时，你指的并不是它的底部有个凹陷处，而是它会漏水。同样地，即使你在比亚利面包卷上咬一口，它也不会变成百吉圈。
至此，还剩下“1个洞”的观点，它是三个备选项中支持人数最多的一个。现在，让我来告诉你它有什么问题。当我问我的朋友凯利关于吸管的问题时，她直截了当地否定了“1个洞”的观点：“这是否意味着嘴巴和肛门是同一个洞？”（凯丽是一名瑜伽教练，所以她倾向于从解剖学的角度看问题。）毫无疑问，这是一个公平合理的问题。
但是，我们假设你有足够的勇气接受“嘴巴 = 肛门”这一等式。即便如此，挑战依然存在。下面是那两名大学生在Snapchat视频中的一个场景（不过说实在的，你还是自己去看吧，我无法通过文字和舞台指示完美地呈现出他们怒气越来越盛的过程），其中1号兄弟支持“1个洞”的观点，2号兄弟则支持“2个洞”的观点。
2号（拿起一个花瓶）：这上面有多少个洞？ 1个洞，对吧？
［1号默默地同意了。］
2号（拿起一个纸巾卷筒）：这上面有多少个洞？
1号：1个。
2号：理由呢？（再次拿起那个花瓶）它们看上去一样吗？
1号：因为如果我在这里（在花瓶底部做了一个手势）打 1个洞，它还是只有 1个洞！
2号（被激怒了）：你刚才说，如果我在这里打 1个洞。
［气得直喘粗气］
1号：如果我在这里再打 1个洞，它就有……
2号：对——再打 1个洞，加上这个洞，共有 2个洞！到此为止吧！
在这个场景中，支持“2个洞”观点的那位兄弟似乎表达了一个非常合情合理的原则：在某个物体上打一个新洞，洞的数量就应该增加一个。
我们再来看一个更难的题目：一条裤子上有多少个洞？大多数人给出的答案都是3个：裤腰上有1个洞，裤腿上有2个洞。如果你把裤腰缝合起来，就会得到一根由牛仔布做成的特大号吸管，上面还有一个弯儿。如果一开始有3个洞，你缝合其中的1个，应该还剩下2个而不是1个，对吧？
如果你坚持认为一根吸管上只有1个洞，那你也许会说一条裤子上只有2个洞。在你缝合裤腰之后，裤子上就只剩下1个洞了。这是我经常听到的答案，但这个答案与“一根吸管上有2个洞”的观点面临着同样的问题：如果一条裤子上有2个洞，它们在哪里？其中一个洞的洞底和另一个洞的洞口又在哪里？
或者，你可能认为一条裤子上只有1个洞，因为你所说的洞是指裤子内部的负空间区域。如果我把牛仔裤的膝盖部位撕破，制造出一个新洞，这样做会影响洞的数量吗？你坚持认为不会，裤子上仍然只有1个洞，人为地把牛仔裤撕破不过是给那个洞制造了一个新的开口。缝合裤腰或堵住吸管底端，并不会让洞消失，只是封闭了洞的出口或入口。
但这又把我们带回到不得不说烟灰缸上有1个洞的问题。更糟糕的是，假设我有一个膨胀的气球。根据你的说法，这个气球上有1个洞，即气球内部加压空气占据的区域。如果我拿一根大头针在气球上戳一个洞，气球就会爆炸，只留下一个橡胶圆盘，也许上面还有一个结，但显然没有洞。也就是说，某个东西上本来有1 个洞，你又在上面戳了1个洞后，它反而一个洞也没有了。
你现在感到迷惑不解了吗？我希望如此！数学无法确切地回答这个问题，因为它不能告诉你“洞”的词义（这取决于你和你使用的语言）。但它会告诉你有哪些意思是你能够表达的，这样至少可以避免你被自己的假设绊倒。
让我用一个富有哲理的口号开启我们的讨论吧：一根吸管上有2个洞，但它们是同一个洞。
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