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本书是MathWorks图书计划作品。本书凝聚了薛定宇教授30年的MATLAB科研与教学积淀、30年的MATLAB推广与普及经历！其授课视频在爱课程与中国慕课数拥有十万读者学习的视频课程！英文版全球同步发行！
视频公开课： 爱课程或中国大学MOOC（慕课） 现代科学运算MATLAB语言与应用控制系统仿真与CAD（非严格配套本书视频，仅供读者参考）。
配书源代码： 配书源代码可以到清华大学出版社网站本书页面下载。
薛定宇大讲堂系列图书将陆续出版：
薛定宇教授大讲堂（卷Ⅰ）：MATLAB程序设计
薛定宇教授大讲堂（卷Ⅱ）：MATLAB微积分运算
薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算
薛定宇教授大讲堂（卷Ⅳ）：MATLAB*化计算
薛定宇教授大讲堂（卷Ⅴ）：MATLAB微分方程求解
薛定宇教授大讲堂（卷Ⅵ）：MATLABSimulink仿真
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| 內容簡介： |
本书按照一般的微积分学教材的编排方式，系统地论述了基于MATLAB 语言编程的方法来实现微
积分问题的求解。全书内容包括函数与序列的描述及图形绘制、极限问题的求解、导数与微分问题的求
解、积分问题的求解、函数的逼近与级数求和、数值导数与数值积分等。此外，书中还概括性地介绍了
积分变换、分数阶微积分等内容。
本书可以作为高等学校理工科各类专业的本科生与研究生学习计算机数学语言（MATLAB）的教材，
也可以作为一般读者学习微积分学的辅助教材，帮助读者从另一个角度认识微积分学问题的求解方法，
并可以作为查询微积分数学问题求解方法的工具书。
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| 關於作者： |
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薛定宇教授： 分别在沈阳工业大学、东北大学和英国Sussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了国家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计MATLAB与应用》，该教材被认为是国内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在国内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用。薛定宇教授先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得国家级教学成果二等奖。其主讲的控制系统仿真与CAD课程被评为国家级精品课程、国家级精品资源共享课程；主讲的现代科学运算MATLAB语言与应用课程被评为辽宁省精品资源共享课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中国慕课网站。
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| 目錄：
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目 录
CONTENTS
第 1章微积分问题简介 1
1.1微积分学发展简史 1
1.2本书的主要内容 4
第 2章函数与序列 6
2.1函数与映射 6
2.1.1函数的定义与描述 6
2.1.2常用超越函数的 MATLAB计算 7
2.1.3一般函数的 MATLAB表示 7
2.1.4函数的曲线与曲面表示 8
2.2不同函数的 MATLAB表示 9
2.2.1反函数 9
2.2.2复合函数 9
2.2.3分段函数的描述 10
2.2.4隐函数 12
2.2.5参数方程 13
2.2.6极坐标函数 16
2.3奇函数与偶函数 17
2.4复变函数与映射 18
2.4.1复数矩阵及其变换 18
2.4.2复变函数的映射 18
2.4.3 Riemann曲面的绘制 19
2.5序列与函数项序列 22本章习题 23
第 3章函数与序列的极限 26
3.1单变量函数的极限 27
3.1.1单变量函数极限的 定义 27
iv薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算
3.1.2函数极限的计算机求解 29
3.1.3复合函数的极限 31
3.1.4序列的极限 31
3.1.5分段函数的极限 32
3.1.6无穷小量与无穷大量 33
3.2单边极限与函数连续性 33
3.2.1左极限与右极限 33
3.2.2函数的连续性 35
3.2.3区间极限运算 36
3.2.4函数连续性的应用方程解的判定 37
3.3复函数的奇点、极点与留数 38
3.3.1奇点与极点的计算 38
3.3.2复变函数的留数 39
3.4多元函数的极限 41
3.4.1累极限 41
3.4.2重极限及其计算 42本章习题 44第 4章函数的导数与微分 47
4.1函数的导数和高阶导数 48
4.1.1函数的导数与微分 48
4.1.2函数导数与高阶导数 48
4.1.3复合函数的导数 51
4.1.4分段函数的导数 52
4.1.5矩阵的导数 53
4.2参数方程的导数 53
4.3多元函数的偏导数 55
4.3.1偏导数 55
4.3.2全微分 58
4.3.3多元复合函数的导数 58
4.4场的梯度、散度与旋度 59
4.4.1标量场与向量场 59
4.4.2梯度、散度与旋度 59
4.4.3向量场的势 61
4.5多元函数的导数矩阵 61
4.5.1 Jacobi矩阵 61
4.5.2 Hesse矩阵 62
4.5.3标量函数的 Laplace算子 63
4.6隐函数的偏导数 63
4.6.1单个隐函数的一阶导数 63
4.6.2隐函数的高阶导数 64
4.6.3隐函数方程组的偏导数计算 66
4.7导数与微分的应用 68
4.7.1极值问题 68
4.7.2 NewtonRaphson迭代方法 71
4.7.3曲面的切面方程与法线方程 72本章习题 73
第 5章函数的积分 75
5.1单变量函数的不定积分 76
5.2定积分与反常积分 79
5.2.1定积分 79
5.2.2广义积分与反常积分 81
5.3多重积分问题的 MATLAB求解 83
5.3.1多重不定积分 84
5.3.2待定多项式的构造 85
5.3.3多重定积分的计算 86
5.3.4积分区域的处理与变换 87
5.4定积分的应用 88
5.4.1曲线弧长的计算 88
5.4.2旋转体的体积计算 89
5.4.3三维图形围成的体积与质量计算 90
5.4.4概率密度与分布函数 91
5.4.5积分变换入门 92
5.5曲线积分 92
5.5.1第一类曲线积分 93
5.5.2第二类曲线积分 95
5.6曲面积分 96
5.6.1第一类曲面积分 96
5.6.2第二类曲面积分 98
vi薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算
本章习题 100
第 6章级数展开与函数逼近 103
6.1级数求和 103
6.1.1数项级数的求和 104
6.1.2无穷级数求和计算 106
6.1.3函数项级数的求和 108
6.1.4特殊的无穷项问题 109
6.2无穷级数的收敛性判定 111
6.2.1正项级数的一般描述 111
6.2.2正项级数的收敛性判定 111
6.2.3交替级数的收敛性判定 113
6.2.4函数项级数的收敛区间 114
6.3序列求积问题 115
6.3.1数项序列的乘积 115
6.3.2函数项序列的乘积 116
6.3.3正项序列求积的收敛性判定 116
6.4 Taylor幂级数展开 117
6.4.1单变量函数的 Taylor幂级数展开 118
6.4.2多元函数的 Taylor幂级数展开 121
6.5 Fourier级数展开 122
6.5.1 Fourier级数的数学描述 122
6.5.2 Fourier级数的 MATLAB实现 123
6.6单变量函数的有理函数近似 126
6.6.1函数的连分式近似 126
6.6.2函数的 Pad近似 130
6.7 Laurent级数展开 131
6.7.1复变函数的 Laurent级数展开 131
6.7.2有理函数的 Laurent级数 133本章习题 135
第 7章数值导数与微分 139
7.1数值导数算法 139
7.1.1前向差分与后向差分算法 140
7.1.2 oh2精度中心差分算法 140
7.1.3 oh4精度中心差分算法 141
7.1.4更高精度的中心差分公式 141
7.1.5一般高阶差分公式的推导与计算 142
7.1.6高精度前向与后向差分算法 145
7.2数值导数计算的 MATLAB实现 146
7.2.1二阶精度算法的实现 147
7.2.2七点中心算法的实现 148
7.2.3前向差分数值导数算法的实现 149
7.3已知样本点的任意阶数值导数的求解函数 151
7.4二元函数的偏导数计算 153
7.4.1梯度计算 153
7.4.2针对单变量的高精度偏导数算法 154
7.4.3混合偏导数的数值计算 156
7.4.4高阶混合偏导数的数值计算 157
7.5样条插值与数值导数计算 158
7.5.1三次样条 158
7.5.2 B样条 161
7.5.3基于样条的数值导数计算 162
7.5.4不等间距样本散点的数值偏导数计算 165本章习题 167第 8章数值积分 169
8.1由给定样本点求数值积分 169
8.1.1定积分的直接计算 169
8.1.2积分函数的重建 171
8.1.3等间距样本点的高精度数值积分方法 172
8.2单变量数值积分问题求解 175
8.2.1简单数值积分问题 175
8.2.2数值积分问题的 MATLAB求解 176
8.2.3反常积分的数值计算 180
8.2.4含参数函数的数值积分 181
8.2.5积分函数的数值求解 183
8.3双重积分问题的数值解 184
8.3.1双重定积分的计算 184
8.3.2双重积分曲面的计算 185
8.3.3不同积分顺序的双重积分计算方法 185
viii薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算
8.4多重积分数值求解 186
8.4.1三重定积分的数值求解 187
8.4.2含参数函数的三重积分 188
8.4.3多重积分数值求解 189
8.4.4某些变边界多重积分问题的数值求解方法 191
8.5数值积分的其他计算方法 191
8.5.1基于 Monte Carlo方法的数值积分近似 192
8.5.2基于样条插值的数值积分 194
8.5.3多重积分的数值计算 196本章习题 197
第 9章积分变换 200
9.1 Laplace变换及其反变换 200
9.1.1 Laplace变换及反变换的定义与性质 201
9.1.2 Laplace变换的计算机求解 202
9.1.3用 Laplace变换求解微分方程 204
9.2 Laplace变换问题的数值求解 206
9.2.1数值 Laplace反变换 206
9.2.2闭环系统响应的思想 207
9.2.3数值 Laplace变换 208
9.2.4无理系统的响应计算 211
9.3 Fourier变换及其反变换 211
9.3.1 Fourier变换及反变换定义与性质 212
9.3.2 Fourier变换的计算机求解 212
9.3.3 Fourier正弦和余弦变换 213
9.3.4离散 Fourier正弦、余弦变换 215
9.3.5快速 Fourier变换 216
9.4其他积分变换问题及求解 217
9.4.1 Mellin变换 217
9.4.2 Hankel变换及求解 219
9.5 z变换及其反变换 220
9.5.1 z变换及反变换定义与性质 221
9.5.2 z变换的计算机求解 221
9.5.3双边 z变换 223
9.5.4有理函数 z反变换的数值求解 223本章习题 224
第 10章分数阶微积分 228
10.1分数阶微积分的定义 229
10.1.1为什么要引入分数阶微积分的概念 229
10.1.2分数阶微积分的定义 230
10.2不同分数阶微积分定义的关系与性质 231
10.3 GrnwaldLetnikov定义的数值实现 232
10.3.1 GrnwaldLetnikov定义 232
10.3.2高精度算法与实现 233
10.3.3不同精度算法的定量比较 237
10.4 Caputo微积分定义的数值计算 239
10.5 Oustaloup滤波算法及其应用 241
10.5.1 Oustaloup滤波器近似 241
10.5.2 Caputo导数的滤波器近似 243
10.5.3基于 Simulink的 Caputo导数计算 245
10.6更高阶导数与积分的数值计算 246本章习题 248参考文献 249 MATLAB函数名索引 251
术语索引 255
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| 內容試閱：
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前 言
PREFACE
科学运算问题是每个理工科学生和科技工作者在课程学习、科学研究与工程实践中常常会遇到的问题，不容回避。对于非纯数学专业的学生和研究者而言，从底层全面学习相关数学问题的求解方法并非一件简单的事情，也不易得出复杂问题的解。所以，利用当前最先进的计算机工具，高效、准确、创造性地求解科学运算问题是一种行之有效的方法，尤其能够满足理工科人士的需求。
作者曾试图在同一部著作中叙述各个数学分支典型问题的直接求解方法，通过清华大学出版社出版了《高等应用数学问题的 MATLAB求解》。该书从 2004年出版之后多次重印再版，并于 2018年出版了第 4版，还配套发布了全新的 MOOC课程 ①，一直受到广泛的关注与欢迎。首次 MOOC开课的选课人数接近 14000人，教材内容也被数万篇期刊文章和学位论文引用。
从作者首次使用 MATLAB语言算起，已经有 30年的时间了，通过相关领域的研究、思考与一线教学实践，积累了大量的实践经验与资料。这些不可能在一部著作中全部介绍，所以与清华大学出版社策划与编写了这套薛定宇教授大讲堂系列著作，系统、深入地介绍基于 MATLAB语言与工具的科学运算问题的求解方法。
本系列著作不是原来版本的简单改版，而是作者通过十余年的经验和资料积累，全面贯穿再认识的思想写作而成的，深度融合科学运算数学知识与基于 MATLAB的直接求解方法与技巧，力图更好地诠释计算机工具在每个数学分支的作用，帮助读者以不同的思维与视角了解工程数学问题的求解方法，创造性地得出问题的解。
本系列著作的卷 I可以作为学习 MATLAB入门知识的教材与参考书，也为读者深入学习与熟练掌握 MATLAB语言编程技巧，深度理解科学运算领域 MAT-LAB的应用奠定一个坚实的基础。后续每一卷试图对应一个数学专题或一门数学课程进行展开。整套系列著作的写作贯穿计算思维的思想，深度探讨该数学专
. MOOC网址：https：www.icourse163.orglearnNEU-1002660001
ii薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算
题的问题求解方法。本系列著作既适合学生在学完相应的数学课程之后，深入学习利用计算机工具的科学运算问题求解方法与技巧，也可作为相应数学课程同步学习的伴侣，在学习相应课程理论知识的同时，侧重学习基于计算机的数学问题求解方法，从另一个角度观察、审视数学课程所学的内容，扩大知识面，更好地学习、理解并实践相应的数学课程。
本书是系列著作的卷 II，试图以一个全新的角度，按照一般微积分学教程的顺序全面介绍微积分问题的求解，侧重于利用 MATLAB环境直接求解微积分的问题。首先介绍函数与序列的描述与图形绘制，然后介绍极限问题的求解、导数与微分问题的求解以及积分问题的求解，并介绍函数的逼近与级数求和等方面的内容，还介绍数值导数与数值积分方面的内容，并给出积分变换、分数阶微积分等的入门介绍。
值此系列著作付梓之际，衷心感谢相濡以沫的妻子杨军教授，她数十年如一日的无私关怀是我坚持研究、教学与写作工作的巨大动力。
薛定宇 2019年 5月
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