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| 內容簡介： |
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量子关联是量子信息中*基本的概念，《量子关联及其应用》主要介绍量子关联、量子失协、量子单配性与多配性等内容，以及它们在量子算法中的应用场景。
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目录 前言 第1章 简介与概述 1 第2章 对称量子态的稳定子维数 7 2.1 预备知识 7 2.1.1 量子力学中的线性代数概念.7 2.1.2 密度算符与约化密度算符 10 2.1.3 局域幺正群及其李代数 11 2.1.4 熵与量子信息 12 2.2 量子态的稳定子维数 16 2.2.1 李群作用及其轨道空间 16 2.2.2 Dicke态的稳定子维数 17 2.2.3 纯对称态的稳定子维数 20 第3章 两体和多体系统的量子失协和几何图像 25 3.1 一类两体量子比特的量子失协和几何图像 25 3.1.1 Bell对角态和X态的量子失协 25 3.1.2 量子失协的几何图像 27 3.2 局域无耗散通道下两体量子失协的动力学 32 3.2.1 Bell对角态量子失协的动力学 32 3.2.2 一类双量子比特态量子失协的动力学 35 3.3 多体量子关联的概念 37 3.4 多比特体系的量子失协 38 3.5 局域无耗散通道下多体量子失协的动力学 50 第4章 量子失协的单配性 54 4.1 引言 54 4.2 基础知识 55 4.3 多体量子失协的单配性 57 4.4 单量子比特噪声下量子失协与几何量子失协的冻结现象 61 4.5 总结与讨论 66第5章 利用辅助态进行无纠缠态的量子态区分 67 5.1 引言 67 5.2 无歧义区分两非正交态 68 5.3 明确区分d个非正交态 71 5.4 最佳明确区分d个非正交态 74 5.5 “左”与“右”量子失协的必要性 75 5.6 总结与讨论 75 第6章 超量子失协 76 6.1 引言 76 6.2 超量子失协的概念与性质 77 6.3 超量子失协为零的条件 79 6.4 *优状态区分中的超量子失协 82 6.5 总结与讨论 84 第7章 多体量子比特系统的一般单配性和多配性关系 85 7.1 引言 85 7.2 相关纠缠度量及其基本概念 86 7.3 多体量子比特系统一般的单配性关系 88 7.4 多体量子比特系统一般的多配性关系 95 7.5 总结与讨论 102 第8章 基于unified-(q，s)纠缠的广义W类态的单配性与多配性 103 8.1 引言.103 8.2 unified-(q，s)纠缠度量及其基本概念 105 8.3 unified-(q，s)纠缠的单配性和多配性 108 8.4 相关应用 115 8.5 基于unified-(q，s)纠缠更紧的单配性与多配性关系 119 8.5.1 基于UE的更紧的单配性不等式 119 8.5.2 基于UEoA的更紧的多配性不等式 124 8.6 总结与展望 128 参考文献 129
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第1章简介与概述 量子纠缠*初由Einstein，Podolsky和Rosen[1]以及Schr6dinger描述，是量子力学中一种奇异的现象.他们指出，量子力学中某种“诡异”特性暗示了复合体系存在某些整体态，这些整体态无法写成各子系统态的直积形式.更具体地说，只要恰当地选择体系的整体态，那么在实验室B执行操作就能改变实验室A的态描述；实验室A的研究人员在事先对此并不知情，只有在他们从远方获得相应信息后才会察觉，但他们可以在事后验证自己所进行的实验与从远方确定的态描述相符. 在1964年，Bell131提出了一个不等式，用以表明：若我们假设局域实在性(localityassumption)成立，那么就不可能存在对量子力学的完备化.该假设主要包括以下三点： (1)(实在性)测量结果由粒子在测量前所携带的性质决定，并且与具体的测量无关; (2)(局域性)在类空分离(spacelike separation)处进行的任何操作都不会影响另一处的测量结果； (3)(*立性)测量装置的选取*立于决定局域测量结果的潜在变量. Bell证明了上述假设会受到Bell不等式的约束.随后他发现，某些合适测量的纠缠态可以违反这些Bell不等式.这意味着，在任何**形式主义下，都无法模拟量子关联，而量子纠缠正是量子形式主义中导致此结果的特征之一. 在过去的数十年中，随着量子信息理论的发展，人们逐渐认识到纠缠可视为一种重要的量子资源，可用于完成诸如量子密码学W、量子隐形传态以及基于测量的量子计算等任务.如今，许多实验都针对纠缠理论展开，且取得了巨大进展. (1)量子态的轨道与稳定子维数(orbits and stabilizer dimension of quantumstates) 量子纠缠理论中的一个基本问题是描述多体量子体系中可实现的纠缠类型.我们认为，如果一个复合体系中的两个量子态能通过作用在各子系统上的么正变换(称为局域幺正变换，localunitary或LU)相互变换，那么它们具有相同的纠缠类型.局域么正变换构成一个李群(Liegroup)，作用于量子态流形后将其划分为不同的轨道(orbit).每条轨道都是一个可微分流形，代表了一种纠缠类型.通过商拓扑(quotient topology)将这些轨道进一步构造为一个轨道空间(orbit space)，其元素为各种不同的纠缠类型.基于局域么正变换的纠缠理论便旨在描绘多体量子体系的这些轨道空间以及轨道本身. 对于量子体系轨道空间的理解，很大程度上得益于不变量理论(invariant theory)的研究，即研究在轨道上保持不变的函数人们希望利用这些不变量(通常是态矢量系数的多项式函数)对量子态的轨道进行区分与分类.RainsM以及Grassl等M的工作为系统性地使用此思路奠定了基础.目前，人们在选取特定且有限的不变量集用于标记轨道空间方面的成果主要局限于少量量子比特(qubits).例如，Makhlin1171给出了能够区分双量子比特混合态轨道的18个多项式不变量，Sudbery给出了区分三量子比特纯态轨道的6个多项式不变量，Acm等[2()，21]则给出了基于一组非多项式不变量来分类三量子比特纯态的一种实用方法. 局域么正群将量子态空间划分为多个轨道，每条轨道代表了一种纠缠类型.对于一个给定量子态|0〉，其轨道0斗与其稳定子子群(stabilizer subgroup)之间存在密切联系.该稳定子子群由在态|妁上保持不变的所有局域么正变换构成.记局域么正群为G，则态|妁的稳定子子群为Stab和态|妁所在的轨道可写为如下的商空间： 因此，研究稳定子子群在某种意义上等价于研究相应的局域么正轨道. 多体量子纠缠的完全分类是一个非常困难的问题，只对双量子比特和三量子比特纯态给出了完整结论.然而，研究局域么正轨道及其维数已经取得了一些进展，特别是Walck和Lyons在一系列文章中对量子态的稳定子维数给出了重要成果.文献证明了n个量子比特纯态的最大稳定子维数分别为(当n为偶数)和(当n为奇数)，并指出由若干个 张量积而成的态(BP若干个单态对(singlet pairs)的乘积态)，以及它们在LU下的等价态，恰好能达到上述最大稳定子维数.在文献[30]中，他们进一步研究了n个量子比特纯态稳定子子代数(stabilizer subalgebra)的结构，发现对于三个及以上量子比特的非直积纯态，最大可能的稳定子子代数维数为n-1.其中，Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)态的稳定子子代数维数正好达到纯态非直积情形下的最大值.在文献[31]中，他们探讨了逆问题：当且时，具有最大维数稳定子子群的非直积纯态恰恰是广义的n-比特GHZ态及其在局域幺正变换下的等价. 此外，与此议题相关的研究仍在不断开展.其中一项重要结果由Zhang等[33]给出，他们考虑了多量子比特图态(graph state)的稳定子维数问题，并对任意多量子比特图态给出了稳定子维数的解析结果.在本书中，我们将给出一般n-量子比特对称纯态(symmetric purestates)的稳定子维数. (2)可分性判据与纠缠度量(separable criterion and entanglement measure) 纠缠是量子信息处理中*重要的资源之一，过去二十多年里，对它的研究十分深入.Werner*次从严格的角度提出并讨论了量子关联的分类问题，为量子纠缠的发展奠定了坚实的基础，并引入了可分性(separability)的概念.如果一个两体量子态系统无法写成 (1.1) 其中PAk和PBk是对各子体系的任意密度矩阵，则称这个态是纠缠态；若能以这种形式表示，则称为可分态(separable state).然而，要判定一个给定态是否可分或纠缠往往极其困难，这在本质上是一个NP难问题，因为(1.1)中的分解并不唯一.近年来，许多研究致力于两个方向：一是为给定态提供可行的可分性判据；二是给出量子纠缠的定量刻画方法. *早用来区分纠缠态和可分态的判据是Bell不等式％若一个态能够违反Bell不等式，则它必定是纠缠态.1996年，Peres提出了一个非常强有力的可分性条件，称为正部分转置(positive partial transpose，PPT)判据，其内容是:若pAB是可分态，则对体系B做转置后得到的新矩阵Pta%仍然是一个密度算符，即依旧是一个量子态，我们称之为PPT条件.对于202和2<83维情形，这是一个充要条件，而在更高维度时只能作为必要条件.另一个有力的可操作判据是重排(realignment)判据[77，78]，它在探测许多束缚纠缠态(bound entangledstates)方面表现出显著的能力.对于2(g)iV体系，文献[89，90]给出了一个与PPT判据等价的约化判据(reduction criterion).在文献[88]中，Nielsen等人提出了一个必要判据，即控制判据(majorization criterion):若p可分，则p的特征值按降序排列所形成的向量会被/9Al或特征值向量(相同降序排列)所控制(majorized)，即对于可分态p，需满足 量子纠缠的定量化也是一个活跃的研究方向.一个好的纠缠度量E通常需要满足如下三个条件： 1)对任意可分态冲);对最大纠缠态; 2)在局域么正变换下不变，即对任意么正矩阵，有 3)不随局域操作和**通信(local operations and classical communications，LOCC)而增加.很多度量都满足上述条件，如纠缠形成熵(entanglement of formation，EOF)、并发度(concurrence)、缠结(tangle)、可提纯纠缠(distillable entanglement)、相对熵纠缠(relative entropy of entanglement，REE)、负度(negativity)等.然而，这些量往往只能在特定情形下计算，且对某些态它们的取值并不一致.其中，EOF是纠缠度的一种单调递增函数；对于双量子比特态，Wootters1421给出了一个易于计算的公式，但在更高维情况下计算难度呈爆炸式增长，目前仅在一些特殊对称态上可以计算负度定义为 其中A是严(对其中一个子系统做部分转置后得到的矩阵)的特征值.该量*初由Zyczkowski等[48]引入，后来被Vidal和Werner证明为在LOCC下不增加的量(LOCC monotone)，并且它也是可提纯纠缠的一个上界.可提纯纠缠衡量在渐近极限下，给定量子态可提炼出多少个最大纠缠态.由于纠缠在有噪声干扰的量子信息处理中非常脆弱，可提纯纠缠的意义尤为重大，但其解析计算非常困难.文献[51，52]提出了一个可提纯纠缠的严格上界，即相对熵纠缠(REE).相对熵纠缠定义为 (1.2) 其中V表示所有可分态的集合，而.相对熵纠缠是一个严格的纠缠度量，但同样地，它也难以在一般情形下进行计算. (3)**关联与量子关联(classical and quantum correlation) 尽管纠缠在量子信息理论中被视为一种重要资源，但近来有研究发现，即使某些混合可分态也能展现出非**关联[38，39，93]，并且这些非**关联在某些计算任务中可以提高效率这一发现为我们研究和理解此类关联提供了新的视角.在一个复合量子态中，区分量子关联与**关联在量子信息理论中具有重要意义.量子互信息(quantum mutual information)被认为是体系总关联的度量，而为了刻画量子关联的“量子性”，Olliver和Zurek[93]引入了量子失协(quantum discord)的概念，这一概念也在Henderson和Veddral[59】的*立工作中出现了类似形式.其核心思路是：当我们从**到量子做类似定义时，由于算符的不对易性(noncommutativity)，往往原本在**情形下等价的表达式在量子情形下会有所区别，而这种区别恰可用来衡量复合系统中关联的“量子性基于此，量子失协在近年来得到了广泛关注. 在文献中，作者*次给出了量子失协(quantum discord)的定义，并指出它是衡量量子关联“量子性”的一种度量.由于存在某些具有非零量子失协的可分态，所以这类可分态也可以被视为“非**”态，可用于执行某些量子信息任务.在Datta的一系列论文中，进一步证明了量子失协在一种被称为“单量子比特确定性量子计算”(deterministic quantum computation with one quantum bit，DQC1)的模型中可用来刻画系统所需的资源.也就是说，即使该模型中的量子态是可分态，不存在纠缠，仍然能表明在典型的DQC1量子线路中系统整体的量子失协是非零的，从而证实量子失协可视为量子计算中的一种资源. 在文献[68]中，Luo*次对Bell对角态(Bell-diagonal states)给出了量子失协的解析计算方法.通过比较量子失协与纠缠，Luo发现量子失协从测量的角度刻画并量化了双体量子关联的量子性，这一点与纠缠-可分态范式下各种纠缠度量有着根本不同. 后来，Ali等人对一大类双量子比特态(即具有七个参数的X态，这类态的密度矩阵呈字母“X”的形状)进行了量子失协的显式计算，并研究了量子失协、**关联以及纠缠之间的关系.结果表明，这三者之间并不存在简单的相对顺序关系，同时他们的结果可视为对Luo文献[68]的推广.还有一些其他工作也在尝试计算量子失协.Adesso等人则将量子失协的概念推广到连续变量体系，对于双模高斯态
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