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《数学物理方法》分为3篇，共12章，主要包括复变函数、积分变换、数理方程与特殊函数三部分。复变函数（第1～4章）是微积分中的实变量函数的自然推广，特别的是，《数学物理方法》以复变对数函数的多值特性为切入点，阐述了围道积分、解析函数、洛朗展开、留数定理等概念与方法；积分变换（第5～7章）是线性代数中的线性变换的延伸，《数学物理方法》主要聚焦傅里叶变换和拉普拉斯变换，深入剖析这两种常用积分变换，并呈现诸多实用成果；数理方程与特殊函数（第8～12章）是线性代数中的本征问题的延伸，《数学物理方法》以三种**方程和三种坐标系为范例，讲解利用空间算符本征函数求解偏微分方程的方法，兼顾传统与现代数值求解技术。此外，《数学物理方法》还拓展介绍了格林函数、非线性问题线性化等实用方法。《数学物理方法》配有适量有深度的习题，旨在强化知识应用与思维训练，建议初学者有选择地进行练习。
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目录前言/i**篇 复变函数第1章 复变函数和欧拉公式/31.1 从实变函数到复变函数/31.2 欧拉公式和复数的指数表示/41.3 对数函数、幂函数和根式/6习题/7第2章 解析函数和柯西定理/92.1 复变函数的导数/92.2 复变函数的原函数/152.3 解析函数/172.4 柯西定理和柯西积分公式/21习题/24第3章 洛朗展开和留数定理/273.1 泰勒展开和洛朗展开/273.2 留数定理/353.3 留数定理的应用/37习题/47第4章 解析延拓和伽马函数/514.1 解析函数的邻域近似/514.2 伽马函数/55习题/74第二篇 积分变换第5章 狄拉克δ函数/815.1 狄拉克δ函数的定义/815.2 δ函数的积分性质/835.3 高维空间的δ函数/855.4 δ复合函数/85习题/86第6章 傅里叶变换/886.1 复矩阵简介/886.2 函数的离散表示/916.3 傅里叶变换和它的反演公式/946.4 高维空间的傅里叶变换/966.5 傅里叶空间的物理公式/966.6 卷积定理/98习题/100第7章 拉普拉斯变换/1027.1 拉普拉斯变换和它的反演公式/1027.2 常见的拉普拉斯变换/1037.3 拉普拉斯变换的应用/106习题/109第三篇 数理方程与特殊函数第8章 正交*面坐标系中的矢量分析/1138.1 极坐标/1148.2 正交*面坐标系/1168.3 梯度、散度和旋度/1228.4 矢量分析常见公式/130习题/133第9章 常见数理方程/1359.1 泊松方程/1359.2 热传导方程/1439.3 波动方程/1499.4 热传导方程和波动方程的修正/154习题/158第10章 分离变量法和谐函数概述/16110.1 零边界条件和谐函数/16210.2 谐函数展开系数的通解/16610.3 谐函数求解概述/170习题/180第11章 正交*面坐标系中的谐函数/18311.1 极坐标系的谐函数/18511.2 柱函数的性质/18711.3 极坐标系的数理方程/20311.4 柱坐标系的谐函数和数理方程/21811.5 球谐函数/22011.6 勒让德多项式/22811.7 球坐标系的谐函数和数理方程/235习题/242第12章 非零边界条件和格林函数方法/24712.1 非零边界条件的泊松方程问题/24712.2 非零边界条件的波动方程问题/25712.3 格林函数/26012.4 无界区域方法总结：积分变换和格林函数/274习题/276附录A 微分方程的理论补充/278A.1 二阶微分方程的级数解法/278A.2 正交定理的一些推广/282A.3 *后的几道习题/283参考文献/285
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**篇复变函数 复变函数，顾名思义，就是以复数为变量的函数.由于复数满足和实数完全相同的四则运算规则，可以用四则运算表示出来的实变函数都可以直接推广到复变函数.利用指数函数的泰勒级数展开，也可以把指数函数推广到复变函数.比较麻烦的是指数函数的反函数——对数函数.通过应用欧拉公式，我们发现复变量意义下的指数函数映射是“多对一”的映射，因此并不存在普通意义上的反函数.为了解决这个问题，我们引入“多值函数”的概念，定义了复变量指数函数的反函数，实际上就是把指数函数的所有反映射解作为多值函数的计算结果.实变量对数函数是单值函数，复变量对数函数是多值函数，这一看起来似乎并不重要的区别，其实是复变函数理论的核心. 物理问题中涉及的绝大多数函数都可以展开为的线性组合，这种展开称为洛朗展开.然后函数的积分、求导等运算都归结为对Z的积分、求导.沿着闭合围道的积分其实就是终点和起点重合的积分.此时，除了的原函数是多值函数lnz以外，其他zn都存在单值的原函数因为起点和终点相同，单值的原函数在终点与起点的函数值之差(也就是沿着闭合围道的“定积分”的结果)总是零，所以问题就归结为如何计算ln^沿着围道走一圈后函数值的变化.由此即引出了柯西积分公式、留数定理等内容. 第一章复变函数和欧拉公式 1.1从实变函数到复变函数 说起欧拉公式 (1.1) 可能很多读者已经比较熟悉了.很多科普读物对这一精妙绝伦的公式大加赞誉，但是，欧拉公式左边的是一个需要被严谨定义的新概念.一种办法是直接把欧拉公式当作纯虚数的指数函数的定义，但这样就无法体现欧拉公式的精妙之处，所以我们采用另外一种办法：先给出不依赖于欧拉公式的“合理”定义，然后证明欧拉公式成立. 我们很清楚地知道如何把实变函数推广到复变函数.这个推广的“合理”性是不言自明的？.事实上，因为复数满足和实数完全一样的(加减乘除)四则运算法则，对只涉及四则运算就能定义的函数，可以直接把定义域从实数集扩展到复数集——当然，要除去那些让分母为零的点.比如，把整个实数轴上有定义的实变函数推广到复变函数时，定义域并不是整个复平面，而是要刨去这两个点. 现在的任务是把实变函数“合理”地推广为复变函数.虽然并不能简单地用四则运算定义，但是可以用四则运算表示出函数无限逼近: (1-2) 于是，我们把复变函数 (1.3) 作为实变函数的推广.定义式(1.3)右边的级数和在复平面上处处收敛，因此它作为一个合法的定义并没有什么问题.不过，仅仅基于式(1.2)和式(1.3)的相似性而断言推广的“合理”性仍稍显苍白，必须验证指数函数*基本的性质—— (1.4) 从定义式(1.3)出发很容易就可以得到等式(1.4)，具体过程如下. 按照e2的定义，所求证的等式(1.4)等价于 (1-5) 对任意，我们来比较两边项的系数. 左边项只能来自打项的展开，在展开时在个括号内取，个括号内取勿，总共有种取法，即左边项的系数为 (1.6) 和右边相同.由的任意性即得证 1.2欧拉公式和复数的指数表示 1.1节给出了复变量指数函数的“合理”定义，下面我们来导出欧拉公式.对实数0，按定义式(1.3)，有 (1.7) 上式右边为偶数的项是实数项，几为奇数的项是虚数项分离实虚部，即得 (1.8) 实部和虚部恰好分别是三角函数和的级数展开式，于是就得到了欧拉公式(1.1). 在学习欧拉公式之前，我们习惯于在二维复平面的直角坐标系中把复数可视化.现在可以尝试用极坐标系.请参考图1.1，利用极坐标和直角坐标的关系，以及欧拉公式，可以得到复数的指数表示： (1.9) 这里是的实部和虚部；是复数的模，通常写作;是复数的辐角，通常写作.注意辐角不是唯一的，它可以加上2k的任意整数倍.有时为了确定起见，会规定一个范围，并把落在这个范围内的辐角称为辐角主值，记作.常见的定义辐角主值的范围有和化外我们在之后会看到，这种人为的选择在大多数时候并没有什么用处，*合适的方法是用“动态”的观点来看待辐角.因为我们研究的是复变函数的微积分(连续变化)，一开始可以在任意范围内取复数的辐角，然后当复数连续变动时，让辐角也连续地变化. 注意：复数零的辐角没有确定的意义，也就是说是不合法的表达式.通过一些基本的练习，很容易得到一些关于复数的常识. (1)当是奇数时;当n是偶数时， (2) (3)当是实数时，的共轭复数是且两者都在方程所确定的单位圆上，两者也互为倒数. (4)如果为正整数，则方程，有个解，这些解均勻地分布在单位圆周上. (5)如果为正整数，则方程有个解，这些解均勻地分布在单位圆周. 1.3对数函数、幂函数和根式 有了复变量的指数函数之后，可以很轻松地完成三角函数和双*函数的复变量推广，例如 (1-10) (1.11) (1.12) (1.13) 这样，欧拉公式(1.1)实际上对任意复数成立.另外，不难根据定义以及欧拉公式直接验证，的解仍然只有的解仍然只有. 设，我们可以写出 (1.14) 从而容易想到这样定义对数函数. 定义1.1(复变量的对数函数) (1.15) 注意，定义式(1.15)左边的表示(需要定义的)复变对数函数，右边的是(已经有明确定义的)正实变量对数函数.我们之前接触到复变量指数函数、复变量正弦函数等，都沿用了和实变量函数相同的符号.复变量的对数函数沿用
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