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《幻方及其他：娱乐数学**名题（第三版）》分为三个部分，第一部分是百变幻方——娱乐数学**名题，对古今中外在幻方研究中的发现和成果进行了较详细的介绍；第二部分是素数，介绍了素数的有趣现象和未解之谜。第三部分是娱乐数学其他**名题，包括数字哑谜、数学金字塔、自守数、累进可除数，以及“数学黑洞”现象、棋盘上的哈密顿回路、八皇后问题、梵塔、重排九宫等问题。《幻方及其他：娱乐数学**名题（第三版）》题材广泛、内容有趣，能够启迪思想、开阔视野，有助于提高读者分析问题和解决问题的能力。
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目录**版总序第三版前言**版前言第一部分 百变幻方——娱乐数学****名题引子 洛水神龟献奇图 201有关幻方的传闻趣事 10 1.1宇宙飞船上的搭载物 10 1.2杨辉—研究幻方**人 11 1.3杨辉 4阶幻方中的奥秘 23 1.4出土文物中的阿拉伯幻方 32 1.5欧洲的“幻方热”和名画《忧伤》中的幻方 35 1.6富兰克林的神奇幻方 3902怎样构造幻方 46 2.1连续摆数法（暹罗法） 46 2.2 阶梯法（楼梯法） 48 2.3奇偶数分开的菱形法 49 2.4对称法 51 2.5对角线法 52 2.6比例放大法 53 2.7斯特雷奇法 54 2.8 LUX法 56 2.9拉？海尔法（基方、根方合成法） 57 2.10镶边法 60 2.11相乘法 61 2.12幻方模式 6303幻方数量知多少 65 3.1 3阶幻方的数量 65 3.2 4 阶幻方的数量 66 3.3 5 阶幻方的数量 6704“幻中之幻” 69 4.1对称幻方 69 4.2泛对角线幻方 69 4.3棋盘上的幻方 75 4.4亲子幻方 79 4.5奇偶数分居的对称镶边幻方 79 4.6 T形幻方 8005非正规幻方 82 5.1普朗克幻方 82 5.2素数幻方 83 5.3合数幻方 87 5.4乘幻方及其他 8806幻方的变形 92 6.1杨辉的幻圆 92 6.2对杨辉变形幻方的发展 96 6.3中世纪印度的幻圆和魔莲花宝座 104 6.4富兰克林的八轮幻圆 106 6.5幻星 109 6.6幻矩形 112 6.7魔蜂窝 113 6.8幻环 11507进一步的“幻中之幻” 118 7.1双幻方 118 7.2幻立方（魔方） 120 7.3四维魔方 127 7.4一些奇特的魔幻方 128习题 132 第二部分 素数—娱乐数学另一**名题 08素数之谜 136 8.1素数的无限性及其证明 136 8.2有没有素数的一般表达式 137 8.3表达素数的函数 141 8.4怎样判定大素数 142 8.5某范围内素数知多少 143 8.6梅森素数—最大素数的表示形式 145 8.7最大素数有多大 15009素数奇趣 153 9.1由顺（逆）序数字组成的素数 153 9.2回文素数 154 9.3可逆素数 156 9.4孪生素数 158 9.5形成级数的素数 159 9.6素数与π及其他 160 9.7一些素数倒数的特殊性质 162 9.8素数分布的有趣图案 171 9.9高斯素数和艾森斯坦素数 175习题 17610素数和完美数 178 10.1求完美数的公式 178 10.2完美数与梅森素数 179 10.3完美数的一些特征 179 10.4多倍完美数 181 10.5另一种完美 181 第三部分 娱乐数学其他**名题 11数学黑洞探秘 184 11.1由自恋性数形成的黑洞 184 11.2由自复制数造成的黑洞 186 11.3由数的因子和形成的黑洞 188 11.4由“3x+1”变换形成的黑洞 19112枯燥数字中隐藏的奥秘 195 12.1数字 1—9 上的加法 195 12.2数字 1—9 分成有倍数关系的 2 组 197 12.3数字 1—9 上的乘法 198 12.4用 1—9表示任意整数 201 12.5累进可除数 203 12.6累进不可除数 20913数的自同构现象 210 13.1自同构数 210 13.2有关自守数的一些规律 211 13.3立方自守数 213 13.4其他进制中的自守数 213 13.5六边形自守数和同心六边形自守数 214 13.6 “蛋糕自守数” 21714棋盘上的哈密顿回路 220 14.1问题的提出 220 14.2马步哈密顿回路的欧拉解法 221 14.3内外分层法求哈密顿回路 222 14.4罗杰特的巧妙方法 223 14.5几个有特色的马步哈密顿回路 224 14.6棋盘上的不解之谜 226 习题 226 15八皇后问题 228 15.1八皇后问题的起源与解 228 15.2小棋盘上的皇后问题 231 15.3八皇后问题的解法 231 15.4八皇后问题的解可以叠加吗 234 15.5没有 3个皇后成一直线的解 235 15.6控制整个棋盘需要几个皇后 235 15.7怎样使八皇后的控制范围*小 236习题 23716数字哑谜 —有趣的算式复原问题 238 16.1解 USA+USSR=PEACE 238 16.2解 FORTY+TEN+TEN=SIXTY 239 16.3由“THE+TEN+MEN=MEET”形成的一道算式 240 16.4只给出一个 8 的除法算式 241 16.5只给出一个 4 的开平方算式 242 16.6不给出一个数字的除法算式 243 16.7给出 7个 7 的除法算式 245 16.8一个复杂的乘法算式 248 16.9商是循环小数的除法算式 251习题 25217数学王国中的金字塔 256 17.1右侧全是 1的金字塔 256 17.2右侧全是 8的金字塔 257 17.3基座由对称的 123456789组成的金字塔 257 17.4塞尔金发现的几座金字塔 258 17.5源于素数 7 的倒数的奇异性质的金字塔 259 17.6只用到加号的金字塔 260 17.7平方数金字塔 260 17.8立方数金字塔 263 17.9 “柱式”金字塔 263 18谁是幸存者 266 18.1源于古老故事的幸存者问题 266 18.2日本的“继子立”问题 266 18.3 “继子立”问题的新版本 267 18.4中国数学史上的幸存者问题 268 18.5幸存者问题的一般解法 268习题 26919变化无穷的双人取物游戏 271 19.1*简单的双人取物游戏 271 19.2限从若干堆的一堆中取子的玩法 272 19.3从 NIM1 到 NIMk 276 19.4 NIM的另一种变形 276 19.5 NIM的又一个变形 27720关于重排九宫 280 20.1原始的重排九宫问题 280 20.2洛伊德的“ 14—15”玩具 282 20.3洛伊德游戏的变形 284 20.4 “把希特勒关进狗窝”游戏 285 20.5以棋步移动的九宫问题 290习题 29121梵塔问题透视 292 21.1梵塔问题的起源 292 21.2梵塔问题与国际象棋的传说 293 21.3梵塔问题与哈密顿通路问题 294 21.4梵塔问题与格雷码 295 21.5梵塔问题的计算机编程 299 部分习题、问题答案 301主要参考文献 311
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第一部分 百变幻方——娱乐数学****名题 本书分为三大部分，其中第一部分专门介绍幻方，第二部分专门介绍素数，第三部分介绍娱乐数学其他**名题。把幻方从娱乐数学的其他**名题中分离出来作为一个专题进行着重介绍，并非完全出自笔者的偏爱，更主要是由于幻方在娱乐数学中的地位及它的意义实在非同一般，也由于幻方是由中国人*创的，是值得中国人骄傲的。赖瑟（H.J.Ryser）在数学名著《组合数学》（Combinatorial Mathematics）中写到，组合数学，也称为组合分析或组合学，是一门起源于古代的数学学科。据传，中国的大禹（约公元前 2200年）在一只神龟的背上看到如下幻方 而大约公元前1100年，排列即已在中国萌芽 幻方从中国传到其他地区以后，引起广泛关注，一代又一代的学者对它进行了不懈的研究，取得了许多成果，有关的文献资料多不胜举。数学家纽曼（J. R. Newman，1907—1966）在 20世纪 50年代编辑了一部数学文库性质的《数学的世界》（The World of Mathematics），收集了数学各个分支、各个年代的名家名篇 133篇，分4大卷出版。在“数学游戏与数学谜语”这部分的开头，纽曼在介绍中提到幻方时就写到，单单是有关幻方的著作就足够办一个规模可观的图书馆了。读者在看过本书以后，应当会相信纽曼的这个说法一点也不过分，笔者专门用一个部分来介绍幻方也是有道理的。 引子 洛水神龟献奇图 大约在距今4200多年的公元前2200年，我们的祖先居住的大地上暴雨连绵、洪水泛滥，成千上万的人遭受灭顶之灾。当时人类抵御自然灾害的能力十分有限。在拯救自己生命的强烈愿望驱使下，人们奋起抗灾，在斗争和失败中学习，涌现了许多可歌可泣的故事，其中大家*熟悉的是大禹为治水三过家门而不入的故事。此外还有许多有关大禹治水的动人传说。例如，相传在大禹治黄河的时候，黄河龙马献给大禹一张河图，帮助大禹制定了一套正确的治黄方案。另一则传说是大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹的“洛书”中有如图 0-1所示的奇怪的图。 这幅图用今天的数学符号“翻译”出来就是一个3阶幻方，即在3×3的方阵中填入1—9，方阵每行、每列和 2条对角线上的3个数字之和都等于15，并把这个和数叫作幻方常数（magic square constant）或幻和（magic sum）。这就是中国人率先发现的世界上的第一个幻方。别小看这个小小的幻方，这是中国人在数学史上的一个伟大创造，奠定了数学中一个重要分支 —组合学的基础。当然，由于当时还没有发明我们今天使用的数字符号，所以我们的祖先就巧妙地用这个图来表达他们所知道的幻方。图中，奇数用若干个空心圆圈表示，偶数用若干个实心圆圈表示，这和中国古时的“阴阳学说”有关。 由于作为“洛书”3阶幻方基础的九宫数字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古书《大戴礼记》卷八《明堂篇》中就有清楚的记载。因此，中国人率先发现了幻方是国际数学界公认的。但是，幻方到底是什么时候出现的，有没有实物为证？这个问题却长期得不到解决，直到1977年的一个考古发现才给出了答案。 图 0-1 “洛书”上的 3阶幻方 1977年春，安徽省阜阳县（现阜阳市）城郊的农民在双古堆平整土地时发现了两座古墓。文物工作者发掘后证明这是西汉汝阴侯的墓葬。汝阴侯是汉高祖刘邦赐给与其同乡的功臣夏侯婴的封号。墓主人是第二代汝阴侯夏侯灶及其妻子。夏侯灶死于西汉文帝十五年（公元前165年），距今已有2180多年。出土文物中有 3件极珍贵的中国古代天文仪器。其中一件叫“太乙九宫占盘”，是用来占卦的盘，分上盘和下盘两个部分，上盘嵌入下盘的凹槽，可以随意转动，如图0-2(a)所示。将盘上的古汉字转写后如图0-2(b)所示。由图可见，太乙九宫占盘正面是按八卦位置和金、木、水、火、土五行属性排列的，九宫名称和各宫节气的天数与古书《灵枢经》①完全一致。这个占盘就是用来测算立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至这8个节气的，说明我们的祖先很早就掌握了季节变化的规律。我们在这里不加详述，感兴趣的读者可以参阅殷滌非发表在 1978年第5期的《考古》上的文章《西汉汝阴侯墓出土的占盘和天文仪器》。我们感兴趣的是盘上圆圈中 8个方位上的数字，如果补上中心由于安装转轴而无法刻上的 “5”的话，恰为九宫数字“四九二，三五七，八一六”。因此，我国数学史专家梁宗巨先生在其遗作《世界数学通史》中认定这是一个 3阶幻方的实物。根据盘上刻的该盘的制作年代“第三，七年辛酉日中冬至”的字样，专家确切地考证出这是汉文帝七年（公元前 173年），因此幻方在中国的出现已有2190多年的历史了，比根据《大戴礼记》推算的时间提前了两个半世纪（但不知什么原因，梁先生的书上只说提前了一个半世纪）。幻方后来陆续传播到日本、朝鲜、古代印度、泰国、阿拉伯等地，引起当地的广泛兴趣和重视。但根据史料记载，国外*早研究幻方的学者当推阿拉伯的塔比 伊本 库拉（Thabit ibn Qurra，约公元826—公元901），那已是公元9世纪了。欧洲人知道幻方就更晚了，据说是生于君士坦丁堡（现伊斯坦布尔）的古代印度人穆晓普鲁斯（Manuel Moschopulus）*先在 15世纪把幻方介绍到欧洲去的。 (a) (b) 图0-2 太乙九宫占盘 在中国古代，“洛书”3阶幻方被蒙上了一层厚厚的神秘色彩。周朝的易学家把它同“九宫说” ①等同起来，或者把它同他们所主张的“天地生成数说”联系起来②。两汉时期的巫师或方士则把它用作**吉凶的图谶。在我国西藏地区，过去藏民普遍携带的一种护身符（图0-3）除了有黄道十二宫和八卦以外，中央就是一个用藏文数字表示的 3阶幻方。此外，初版于 1923年的《数学史》（History of Mathematics）中转载了出版物中一幅名为“生命之轮”（Wheel of Life）的画（图0-4），这幅画中也有类似的，但宗教色彩更浓厚、内容更丰富的图案，中央也是一个3阶幻方。另一方面，由于“洛书” 3阶幻方配置 9个数字的均衡性和完美性产生了极大的审美效果，古人认为其中包含了某种至高无上的原则，也把它作为治国安民九类大法的模式，或把它视为举行国事大典的明堂的格局，因此使中国古人的这一数学杰作具有了哲学意义的创造。 图0-3藏民的护身符 图0-4画作“生命之轮” 事实上，“洛书”3阶幻方背后可能还隐藏了许多奥秘，有待人们去挖掘。我国著名的科普作家兼娱乐数学专家谈祥柏先生就曾在他的著作中介绍了对“洛书”3阶幻方的新发现。*先，书中把幻方想象为画在汽车轮胎上，于是，*左一列与*右一列相邻，*上一行与*下一行也相邻。这时 9个2×2方阵中的4个数之和恰好包括了16到24，既不重复又不遗漏，如图0-5所示。你说奇妙不奇妙？ 图0-5 “洛书” 3阶幻方 9个2×2方阵形成连续数列其次，把每列数字看成一个3位数，则这3个3位数之和与其 3个逆转 3位数之和相等，而且取它们的平方和也相等，即
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