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| 內容簡介： |
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数学很奇妙，它就像是一座由数字、字母、符号和图形构成的迷宫。利用思维的力量去寻找迷宫正确道路的过程，充满着挑战，也充满着乐趣。 《数学奇趣》介绍了一些充满奥秘与奇趣的数学知识和数学历史故事，包括神秘而有趣的自然数、妙趣横生的墓志铭，以及数学历史上的失误等，这些内容发人深思，令人惊讶，有些还会让你会心一笑。相信《数学奇趣》能够激发你对数学的兴趣，锻炼你的逻辑思维能力，提升你的创新意识。
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目录前言1 充满奥秘的数学 11.1 破译密码王中王 11.密码的历史悠久 12.RSA密码的诞生 23.智慧的较量 34.毅力是永久的享受 45.破译RSA129密码的成功 51.2 笔尖下发现行星 61.自制望远镜 72.笔尖下的发现 73.发现海王星 84.冥王星的发现 95.冥王星的争论 101.3 神奇的兔子繁殖 121.前人种树 后人乘凉 132.有生命的数列 153.衍生出许多趣题 161.4 千古无同局(围棋) 181.从和尚到数学家 182.棋盘上的数学 191.5 算盘的命运如何 221.蔓延五洲的新文化 222.超越运算的创造力 233.炎黄子孙的再辉煌 244.珠算、算盘诞生的争论 245.珠算发明权之争 266.“珠心算”教育的诞生 271.6 揭开蜂房的秘密 281.谁*早发现蜂房建筑 292.蜜蜂的数学才华 313.探寻两分之差原因 324.待揭之谜 335.拯救蜜蜂 341.7 音乐与数学媲美 351.音乐数学结良缘 362.音乐数学一致性 383.数学数列与音乐 394.音乐的数理特性 405.音乐助你工作好 422 生活中的数学 452.1 铁路两轨的距离 452.2 客轮舰艇圆形窗 492.3 用数学方法破案 511.用圆周率π破案 522.数学反推法查案 542.4 摸球奖率知多少 552.5 洗牌几次才均匀 582.6 孟德尔遗传定律 603 破译算式的哑谜 623.1 算术的算式复原 633.2 代数的算式复原 693.3 国外的字母哑谜 724 妙趣横生墓志铭 764.1 顶天立地泰勒斯 764.2 数学之神阿基米德 774.3 代数鼻祖丢番图 784.4 鲁道夫碑上之π 794.5 一生坎坷开普勒 804.6 科学的巨匠牛顿 814.7 雅各布的墓志铭 824.8 感恩的麦克劳林 834.9 数学王子高斯 844.10 华蘅芳碑上有圆周率吗 854.11 希尔伯特墓志铭 864.12 印刷人富兰克林 874.13 齐奥尔科夫斯基 884.14 莎士比亚的碑文 894.15 火一样的赫尔岑 904.16 爱大自然的卢梭 904.17 炫耀官职墓志铭 914.18 幽默的墓志铭选 915 数学王国怪事多 935.1 代数方面诡辩题 941.任何两个数都相等 942.任何一个数等于它的相反数 953.*吗 954.x=x+1 965.为什么遗失根 966.一元一次方程有两个根 977.父子年龄相同 988.两元钱不翼而飞 989.兔子追乌龟问题 9910.错在哪里 10011.哪个*小值是对的 10112.负数有对数吗 10113.循环论证换底公式 10114.一题竟有“多种答案” 10215.所有人的身高一样 10316.1=2对吗 10317.下面解法对吗 10318.费马猜想的“证明” 1045.2 几何方面诡辩题 1051.所有的三角形都是等腰三角形 1052.三角形内角和定理“新证” 1063.循环论证勾股定理 1064.直角边等于斜边 1075.几何中部分等于整体 1086.一圆二心 1097.1=0 1098.怎么没有等角的等腰三角形 1109.相似三角形的相似比等于什么 11110.2>3吗 11111.2=0 1126 神秘而有趣的数 1146.1 有趣的自然数 1141.完全数 1152.亲和数 1153.梅森素数 1154.巧(好)数 1165.魔术数 1166.漂亮数 1167.回文数 1178.智慧数 1179.自返(相伴)数 11710.史密斯数 11811.勾股弦数 11912.费马数 12013.自守数 12014.金兰数 12115.形数 12216.伪素数 12417.孪生素数 12518.混沌、菲氏数 12519.纯元数 12620.卡普列克数 1276.2 高次幂的个位数 1281.整数次幂的个位 1292.多重幂的个位数 1316.3 数字黑洞之探秘 1321.平方和数字怪圈 1332.立方和数字怪圈 1343.高次方和是本身 1364.逆序数差的黑洞 1375.跌入数“1”的黑洞 1386.有趣三组数等式 1397 数学史上的失误 1417.1 剽窃者难逃裁决 1417.2 自夸者食其苦果 1427.3 不是阿拉伯数字 1437.4 美国数学会会徽 1447.5 π值707位之错 1467.6 海伦公式的传说 1467.7 不实的素数定理 1477.8 算盘发明权之争 1487.9 为“百牛冤案”平反 1497.10 所谓中国之定理 1497.11 四边形面积公式 1517.12 球体的体积公式 1537.13 无中生有的1-1+1- 1547.14 化圆为方的作图 1577.15 “三等分角”犯规了 1597.16 错误冠名沿用至今 1601.所谓杨辉三角形 1612.韦达定理的真伪 1613.中国的剩余定理 1624.九点共圆之名称 1635.所谓洛必达法则 1646.佩尔方程之真伪 1647.17 费马素数之公式 1647.18 梅森之素数猜想 1657.19 哥德巴赫另外猜想 1657.20 公式错了二百年 1658 考你的辨析能力 1678.1 代数方面的问题 1671.代数式 1682.根式 1693.方程 1714.对数 1745.函数 1758.2 几何方面的问题 1779 以中国人命名的定理 1849.1 商高定理 1849.2 圆周率π 1841.古率 1842.歆率 1843.衡率 1854.徽率 1855.祖率 1859.3 祖暅原理 1859.4 张遂内插法公式 1869.5 秦九韶公式 1869.6 朱世杰等式 1869.7 朱世杰内插法公式 1879.8 李善兰恒等式 1879.9 李善兰定理 1879.10 李善兰数 1889.11 华蘅芳公式和数 1889.12 曾炯之定理 1899.13 周炜良坐标、定理 1899.14 樊畿定理 1899.15 柯召定理 1899.16 华氏定理 1909.17 华王方法 1909.18 吴文俊公式 1909.19 陈氏定理 19110 数学背后的故事 19210.1 数学家的奋斗史 1921.布衣数学家 1932.创新发明多在青年时期 1933.自学成才 1934.身残志坚 1935.小城镇和乡村也出人才 1946.坚忍不拔 1947.信仰多样性 1948.专心和执著奉献数学 1949.神童与愚童 19410.2 发奋学习早为好 1951.珍惜时间 1952.持之以恒 1963.古人教子读书诀窍 1974.克服困难，勤奋学习 198思考题参考答案 200参考文献 210
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1充满奥秘的数学 数学是个万花筒，里面有许多形形色色的美丽、和谐的趣事，十分奇妙、有趣。 公元前3世纪，古希腊的阿基米德对数学十分痴迷。“仿佛他家中有一个绝色的仙女，与他形影不离，使他神魂颠倒，忘了吃，忘了喝，也忘了自己。有时，甚至在洗澡时，也用手指在炉灰上画几何图形，或者在涂满擦身油的身上画线条，他完全被神女缪斯的魅力征服。”这是近两千年前的古希腊历史学家、传记作家普鲁塔克（Plutarch，约46～约127）对阿基米德的评述（解延平等，1987）。 1.1破译密码王中王 先讲一个有趣的故事。 稻田边立着穿蓑衣的稻草人。几天过去，鸟儿便知道这是假人，大胆地饱食快成熟的稻谷，还故意站在稻草人头上鸣叫“假假假”。后来，稻田主人自己穿上蓑衣站在田边。鸟儿又像过去一样来吃谷子，吃完后站在“稻草人”头上，最终被稻田主人抓住。稻田主人大笑道：“你天天在叫假假假，今日叫你撞上真真真！” 下面要讲的密码的故事，绝不是假假假，而是真真真丨密码一般是用0～9的10个数字中的一些数字组成的秘密记号，只有自己（如银行卡密码、电脑密码等）或双方（如通信密码）知道。 密码通信在军事、政治、经济上都是必不可少的。 1.密码的历史悠久 密码的历史悠久，我国自古有之。例如，宋朝曾将40个军用短语密码用序号1，2， ，40表示；另用一*只有40个字（没有重复字眼）的五言诗中的字一一对应。若送密码，写一普通公文，其中包含诗中对应序号的一个字眼，并在此字上加盖图章。例如，要求增兵，从密码中查“请添兵”是第14个军用短语，诗中对应的第14个字是“别”字。于是写一封信夹进“别”字，并在其上盖章。收信人一看便知是要求增兵援助了（徐品方等，2007a）。 又传说，北宋年间，辽国奸细王钦若打人宋朝内“卧底”。辽国要送密件给他时，为逃避路上盘查，把密件蜡丸塞人送信人切开的大腿肌肉里，待伤愈后送给王钦若。这是历史上*野蛮的传送密件的方法之一。 在国外，历史上为保卫祖国破译敌人密码的数学家也不乏其人。 16世纪，在一次法国与西班牙的战争中，西班牙人编制了一份自认为极其安全的密码，没想到法国数学家韦达（F.Vieta，1540～1603）利用数学方法破译了这份数百字的密码，使法国军队打败了对方。西班牙国王开始还不相信他们的密码能被破译，认为法国人采用了邪术，后来得知是韦达搞的，愤怒的西班牙宗教裁判所缺席判处烧死韦达的极刑。当然，韦达远隔异国，宗教裁判所鞭长莫及，无法得逞。 第二次世界大战（1939～1945）中，英国数学家图灵（A.M.Turing，1912～1954）于1943年根据数学原理设计了一台叫“乌尔特拉”的密码自动破译机，又称图灵机。德国谍报部门用性能*优良的发报机发送出的各种密码，都能被图灵机自动译出，致使德军连连失败。德军统帅部直到战争结束时，还一直相信他们优良的发报系统绝对安全，认为失密是内部出了叛徒，当时还千方百计在内部捉拿“奸细”。然而，他们做梦也没有想到，密码是被年轻的数学家图灵用数学方法破译的。英国*相丘吉尔称图灵机为“英国的秘密武器”，为此，图灵荣获了帝国勋章。 无*有偶，在第二次世界大战时，美军科学家也用数学方法成功地破译了日军的密码电报，得知日本空军头目山本五十六的动向，预先设下埋伏，一举击落了山本五十六的座机，使这个日本侵略军的头目葬身孤岛。 然而有矛必有盾，随着一个个密码被破译，新的更为复杂的密码不断编制出来。 2.RSA密码的诞生 物换星移几度秋，时间匆匆地进人20世纪70年代，一种亘古未有的密码，神奇般地降临大地，向数学家、计算机专家的智慧发出了挑战。 1978年的一天，美国青年科学家里维斯特（Rivest）、夏米尔（Shomir）和阿德利曼（Adleman）三人相约悄悄来到纽约，共商设计令全球*难解的一种密码系统。三人中两人是数理逻辑学家，一人是计算机专家，他们凭借着超群的智慧和极其*特的设密技术，经过夜以继日的不懈努力，发明了一种长达129位的长码。这是一种*为先进、*为复杂的密码系统，起名为“RSA129”，取三位发明者姓名的头一个字母，后人统称RSA密码系统。 他们把这个发现写成文章，投寄给美国*有影响的科普杂志《科学美国人》。在文章中，他们以年轻人特有的幽默，诙谐地宣布说，谁能解出RSA129密码，将能获得100美元的奖励，因为他们拿不出更多的钱。 文章以*快的速度发表了，喜欢标新立异、寻找“奇闻”的美国读者，争读和传播这个“公开秘密”的信息。它*先在美国引起轰动，随后又很快在全球数学界和计算机界传开。许多专家学者跃跃欲试，倒不是为了那微薄的100美元的奖金，而是试图登上密码界的珠穆朗玛峰。但是，他们低估了RSA密码系统的难度，个个都以失败而告退。 科学家认为，解开RSA129这个有史以来*难的密码系统，并非是一种趣味游戏，它涉及数论里因数分解问题。解开它不仅在理论密码学、数理逻辑学和数论上都有重大意义，而且直接影响当代商业与军事部门所使用密码的生存与命运，因为一旦破译，许多银行、公司、政府和军事部门现行所使用的密码系统必须全部改换，才能防止保密系统泄密。 面对这个诱人的理论与应用重大课题，许多人运用各种办法去解开它。时间一年一年过去了，然而没有人成功，“竹篮打水一场空”。 这时，有人似贬实褒地“骂”道：“这三个野小子，十分厉害。”也有人说RSA129是一个根本不能破译的“大骗局”，是一个“圈套”。这话传到发明者之一里维斯特耳朵里，他平静地回答说：这绝不是骗局，也不是圈套，而是科学。并且告诉大家说，如果想靠个人单干的小打小闹或零敲碎打解开RSA129密码，那么人类至少要花4000年他又暗示说，只有集中力量，进行连续的跨国联网大会战，才会有可能成功。 3.智慧的较量 人们从失败中发现，这类RSA密码系统是一种与数的因数分解有关的数学方法，用它可以编、译密码。聪明的发明者正是利用数论专家目前还难以解决大数的因数分解之机，编制成了这种难以破译的密码系统。 我们知道，用现代计算机进行两个很大的数相乘是件极容易的事。例如，9位数193707721和12位数761838257287相乘，用计算机只需几秒钟就可得出积数267—1。但是反过来，如果不知道这两个因数，要求完成乘积（267—1）的因数分解，却不容易，积的位数越多，计算机所耗时间越多。有人统计，若进行两个101位数的积的因子分解，*快的计算机也要几十万亿年的时间。因此，求一个大数的因数分解，必须采用数学家们研究出新的计算方法，同时辅之以电子计算机工作才行。里维斯特三人正是利用了数学家目前对大数的因数分解的困难，研制了这一可以公开却又无法破译的密码。短短几年间，这一密码得到了一些国家安全部门的广泛应用。 RSA密码系统的基本思想是：取两个充分大的素数的乘积，如果需要发送 秘密文电，只需公开告诉发电报的人这两个素数的乘积是多少，并说明如何用它进行编码，但不必告诉他这两个素数。发报人按编码进行发送秘密文电，而收报人只要对这两个很大的素因数严守秘密，任何人都无法破译，只有他本人知道这一密码电报。 RSA密码系统的出现，一方面给一些国家安全部门带来了喜悦与通信的安全感，另一方面却给数学王国的数学家带来了极大的震动。顿时，数坛的能工巧匠惊惶不安，被誉为“数学皇后”的数论以及“计算之王”的计算机等的尊严受到了严重的损伤，数论再也不是“世外桃源”，再也不是与实践不沽边、纯之又纯的数学理论了。几千年来始终洁白如玉、一尘不染的素数的性质一下子败在了国家谍报工作人员的脚下，RSA系统密码出奇地钻了数学家们暂时不知的大空子，给他们出了一道极富挑战性的难题。 4.毅力是永久的享受 在挑战面前，数学家们积极投身到大因数分解的玄机妙算之中，佐治亚大学的波梅兰斯教授说：“这种密码系统是由于无知而成功的一项应用。它的产生使更多的人热衷于研究数论了。可以说，对分解因数束手无策的数学家越多，这种密码就越好。” 数学家的科学使命遭到如此重大的打击，极大地刺伤了他们的自尊心。他们迅速地向编密码专家发出了应战的誓言：“我们必须知道，我们必将知道。”为了攻克大因数分解这座崎岖*折的数论山峰，他们熬过无数寒暑，度过无数不眠之夜，无数次坐在计算机面前进行计算、推理与沉思。他们使用运算速度越来越快的计算机，研究改进数学计算的方法，其间又创立了新的数学分支“计算数论”。短期内取得了可喜的进展，他们进行因数分解的位数迅速增大。 例如，1984年2月13日，美国《时代》周刊介绍了美国科学家西蒙斯、戴维斯和霍尔德里奇3人，用32小时解开了3个世纪之久未解决的难题——69位数的因数分解。 时间不断在改写历史的记录，突破性的奇迹接踵而来。 1986年末，已有一些国家能在一天之内分解一个85位的数；1988年，可分解100位长的大数；1990年，美国数学家j.波拉德和H.兰斯拉发现了一个155位数的分解方法 数学界的消息，使美国保密机构感到震惊。因为此前美国绝大多数保密体系是使用150位长的大数来编制密码。现在感到不安的不再是数学家，而是那些得逞一时的国家安全部门了。 5.破译RSA129密码的成功 光阴荏苒，日月如梭，距RSA系统问世12年之后，数学家们在因数分解上取得了节节胜利，鼓舞着揭开RSA129之谜的科学家，他们开始酝酿、策划直捣令人咋舌“要花4000年”解决的RSA129“大圈套、大骗局”的难题了。 科学家们终于接受发明者的“大兵团作战”的建议。他们纷纷呼吁：集中全球的“密码学精英”和大量高性能的计算机，全力以赴“跨国联网大会战”直捣黄龙。 说起来容易，做起来太难了，举行这样的“会战”，不仅需要一笔不小的资金，而且还要有一个“愿作嫁衣裳”的机构出面组织，进行协调。 美国著名的“贝尔通信公司”负责科研的“科尔公司”的决策者们高瞻远瞩，提供资金赞助并组织了这一世界性的大会战。1990年初，五大洲600多位解密专家和1600台高性能的计算机，汇合在一起，一场空前壮观的破译“世界密码之王”的大会战的帷幕启开了。 组织者们食不甘味，寝不安席；专家学者们送走了多少个星光交辉的夜晚，迎来了多少朝霞如火的清晨，他们有序地、科学地向密码的珠穆朗玛峰攀登。具体负责的科尔公司的阿杰恩？伦斯特博士说：“计算机已经告诉我们，破译的困难程度如同要在一堆地球一样大的干草堆中找出总共850万枚缝衣针。” “天机云棉用在我，剪裁妙处非刀尺。”精英们经过整整8个月的连续苦战终于成功了。他们破译了RSA129密码。用过的草稿纸记载了多少成功和失败，凝结着多少团结合作的汗水和心血啊！ 估计单干要4000年的工作量，集体合作只花240天就完成了。这不是1天约等于16.6年吗？ 科尔公司在纽约举行了一次别开生面的招待会，会上伦斯特博士宣布成功地破译了10多年前3位发明家设置的这个被认为永远无法破译的“密码王中王”。发明者之一里维斯特亲手将一张100美元的支票“奖”给科尔公司的伦斯特博士。会场顿时爆发出一片善意的笑声，接着响起经久不息的雷鸣般的掌声和欢呼声。 人们想不到才十几年，计算机发展竟如此迅速。对此，里维斯特总结说：“由此看来，在我们这个计算机飞跃发展的时代，绝对无法破译的密码是根本不存在的。” 当然，RSA密码系统中长达129位数的特殊长码破译了，但对150位数以上的长码，还没有找到一般的方法。有人预测，照这样形势发展，破译RSA密码系统的任何密码的日子为期不远了。 活生生的现实把数学家从一张纸、一支笔的小天地里逼上了应用数学广阔天地的“梁山”，他们以迅猛异常的勇敢精神，杀出了一条血路，直捣密码的
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