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| 內容簡介： |
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《量子力学习题解答与剖析》是作者在中国科学技术大学多年从事量子力学教学的过程中编写而成的。《量子力学习题解答与剖析》给出曾谨言先生所著《量子力学（第四版）（卷I、卷Ⅱ）》（科学出版社）的全部习题解答，每道题都力求解答详尽，叙述清晰，同时注重激发学生的学习主动性，积极引导学生活学活用，引导学生思考以深入发掘物理内涵。 对于具有一定科研背景的题目，《量子力学习题解答与剖析》对其物理实质和内涵作了较多的剖析和发掘；对于部分典型题的解答或相关背景材料，《量子力学习题解答与剖析》还参考了国内外一些优秀著作，充分吸收其精华。所有这些丰富了《量子力学习题解答与剖析》的内容。
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| 目錄：
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目录前言第1章 量子力学的诞生 1第2章 波函数与SchrAodinger方程 12第3章 一维定态问题 27第4章 力学量用算符表达 76第5章 力学量随时间的演化与对称性 107第6章 中心力场 129第7章 粒子在电磁场中的运动 164第8章 表象变换与量子力学的矩阵形式 170第9章 自旋 178第10章 力学量本征值问题的代数解法 218第11章 束缚定态微扰论 231第12章 量子跃迁 270第13章 散射理论 287第14章 其他近似方法 315第15章 量子力学与**力学的关系 337第16章 二次量子化 352第17章 相对论量子力学 365附录 几个积分和级数公式 376主要参考文献 379后记 380
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第1章 量子力学的诞生 1.1 试用量子化条件，求谐振子的能量。谐振子势能V（x）取为 解 设粒子质量为m，在题给势场中作一维运动，其总能量表达式为 （1.1） 由上式解出粒子动量为 （1.2） 要求，即有。令，根据Bohr-Sommerfeld量子化条件得 其中n取正整数，即n=1，2， 。对上式积分（可采用分部积分法，或者对积分变量作代换得 （1.3） 所以。解完本题后，我们请读者到后面看一看写在题1.4后的说明。 1.2 用量子化条件求限制在箱内运动的粒子的能量。箱的长宽高分别为为a，b和c。 解 选取坐标使得x，y，z轴分别沿箱的长、宽、高方向，箱的一个顶点为（0，0，0），其对角点为（a，b，c）。粒子能量表达式为 对箱中一个粒子的运动，注意其x方向运动，某一时刻从x=0出发，到x=a，与箱壁碰撞后动量（速度）反向返回再回到x=0，与箱壁碰撞后再沿正x方向运动。这是一个周期运动，根据Bohr-Sommerfeld量子化条件得 其中n1=1，2， ，所以。同理得py=n2h=（2b），pz=n3h=（2c），而n2，n3均为正整数。这样得粒子能量的可能取值为 （1.4） 式中n1，n2，n3均为正整数，即可取n1，n2，n3=1，2， 。 1.3 平面转子的转动惯量为I，求它的能量允许值。 解 转子的转动惯量为I，则其能量表达式为 （1.5） 其中L为角动量。角动量量子化条件（根据Bohr-Sommerfeld量子化条件）给出 L=nh 其中n取正整数，即n=1，2， 代入式（1.5）得到 （1.6） 1.4 有一个带电q质量为m的粒子在平面内运动，垂直于平面方向有磁场B。求粒子能量允许值。 解 设题给磁场的方向沿z轴，则其磁矢势可以取为 即有。粒子运动方程（磁场单位采用Gauss制）为 （1.7） 其中。由上式得，或者，即能量守恒。式（1.7）即 也就是 （1.8） 这样得 （1.9） 其中。求解上述微分方程组可得 （1.10） 由此得 可见粒子作匀速圆周运动，速度大小为v，角速度大小为，轨道半径为。不妨取x0=y0=0，则 令，则上式为，此式给出 （1.11） 为了用量子化条件，下面计算。先分项计算 因而 （1.12） 同样的，对于，由 得到 （1.13） 其中n取正整数，即n=1，2， 。由上式得。这样粒子能量为 而 另解量子化条件为，而 其中为粒子回旋（cyclotron）频率。同样由量子化条件，知，这样 粒子能量为 其中n取正整数，即n=1，2， 。 说明按照量子力学，上述几题中所采用的早期量子论的做法是不正确的，特别其物理图像根本是错误的。前面题1.1、题1.2与题1.4都是先从**轨道运动出发，而**轨道在量子力学中是从根本上被放弃的。那么为什么这几个例子中用早期量子论的做法得到的量子化能量却是基本正确的呢？其原因在于在问题中引入了Plank作用量子。另外，量子力学本身正是因为早期量子论的不足，而建立起来并逐步得到完善的。 1.5 用量子力学可以证明（WKB近似，见本书卷Ⅱ第2章），对于下列不同形式的势阱（图1.1），量子化条件略有不同。 上述公式中。利用上述公式，计算在下列势阱中粒子的能量允许值。 图1.1 不同形式的势阱 （1）势阱（见图1.2） 先进行量纲分析，然后求能量允许值。 （2）势函数 式中，E为均匀电场强度，为粒子电荷（见图1.3）。 图1.2 回复力大小恒定的势函数 图1.3 半空间中的线性势 解 （1）先进行量纲分析。粒子处在题给势场中，其能量E可能值有关的量应包括粒子质量m、势函数的唯一参数g，再加上一个Plank常量。这样可以令，其中f为无量纲量。g的量纲是[g]=[E=r]=[E]=[r]，即牛顿力学中力的量纲。将有关量的量纲列表如下： 若两个量相等，其量纲必相等。由此列出如下关于量纲指数的方程组： 解上面线性方程组，得。由此得 （1.14） 其中f1为无量纲参数。 在上述量纲分析基础上，我们不妨选取自然量纲，取，在*后只需将能量补上上述量纲即可。这样题给势函数可记为V（x）=jxj。总能量为 由上式解出粒子动量为 要求，即有。令xm=E。根据势函数特点，应采用题给的（a）情形的量子化条件，即有 （1.15） 其中n=0，1，2， 。上式等号左边的积分为 （1.16） 式（1.15）、式（1.16）给出 根据式（1.14），恢复能量量纲得题给势阱中粒子的能量允许值为 （2）粒子处在题给势场中，其能量E可能值有关的量应包括粒子质量m，势函数的参数eE，再加上一个Plank常量。除与第（1）小题相同外，eE的量纲也与第（1）小题的g相同，因此按第（1）小题的量纲分析结果，能量允许值应为 （1.17） 其中f2为无量纲参数。我们不妨先选取自然量纲，取。粒子在题给势阱中限于在x>0区域运动，在自然量纲下的总能量表示为 由上式解出粒子动量为 要求，即有。令xm=E。根据势函数特点，应采用题给的（b）情形的量子化条件，即有 （1.18） 上式等号左边的积分为 （1.19） 式（1.18）、式（1.19）给出 根据式（1.17），恢复能量量纲得题给势阱中粒子的能量允许值为 其中n为非负整数，即n=0，1，2， 。 1.6 中心力场V（r）中，角动量为0的粒子（在**力学中这是什么图像？）的能量量子化条件为 设（Coulomb势），求粒子能量允许值。
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