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| 內容簡介： |
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稀薄气体动力学是流体力学的一个分支领域，探究气体在非平衡状态下的流动特性及其内在机理。该学科在航空航天工程、微机电系统、极紫外光刻、约束核聚变等诸多前沿技术领域有着重要的应用。在稀薄气体问题中，连续介质假设不再适用，需要从统计物理学的介观角度描述气体状态与动力学行为。《稀薄气体动力学》较为系统地阐述了稀薄气体动力学的基本理论体系，从气体动理论基础出发，推导玻尔兹曼方程，并探讨其宏观极限。结合作者多年的研究工作，《稀薄气体动力学》介绍了玻尔兹曼方程的快速谱方法、简化动理论建模、多尺度快速算法，以及稀薄效应在高温气体、稠密气体和湍流中的耦合作用，同时涵盖线性流动、时域效应等典型问题。
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| 目錄：
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目录 第1章 绪论 1 1.1 气体的性质 1 1.1.1 相互作用势 1 1.1.2 状态方程 3 1.1.3 压强和温度的微观解释 4 1.1.4 自由度、内能、热容 5 1.2 简单气体动理论 6 1.2.1 平均自由程 6 1.2.2 输运现象 7 1.3 宏观流体方程失效实例 9 1.3.1 再入返回舱 10 1.3.2 页岩气开采 11 1.3.3 微机电系统 12 1.4 克努森数 13 1.4.1 空间克努森数 14 1.4.2 时间克努森数 15 1.5 宏观、介观、微观 16 1.6 练习 17 第2章 气体动理论 20 2.1 速度分布函数与宏观量.20 2.2 平衡态分布函数 24 2.3 特征速率 26 2.4 二体碰撞 27 2.4.1 偏转角 27 2.4.2 四种散射截面 30 2.4.3 碰撞前后速度关系及积分变换 34 2.5 玻尔兹曼方程 35 2.6 碰撞不变量 39 2.7 热力学第二定律 402.7.1 微观状态数 40 2.7.2 熵增定律 41 2.7.3 洛施密特悖论和策梅洛悖论 42 2.7.4 麦克斯韦妖与香农信息熵 44 2.8 应力和热流的弛豫 44 2.9 线性玻尔兹曼方程 47 2.9.1 本征值和本征函数 49 2.9.2 熵增速率 51 2.10 气固边界条件 52 2.10.1 麦克斯韦边界 52 2.10.2 Epstein边界 53 2.10.3 Cercignani-Lampis边界 53 2.11 练习 54 第3章 玻尔兹曼方程的宏观极限 57 3.1 宏观输运方程.58 3.2 麦克斯韦迭代.59 3.2.1 麦克斯韦分子 60 3.2.2 应力和热流的高阶近似 61 3.2.3 逆幂律分子 61 3.3 希尔伯特展开.64 3.3.1 零阶近似 65 3.3.2 一阶近似 66 3.3.3 幽灵效应 68 3.3.4 存在的问题 68 3.4 查普曼–恩斯库格多尺度展开 70 3.4.1 Shakhov模型的展开 72 3.4.2 收敛性问题 74 3.5 格拉德矩方法.75 3.6 正则化矩方程.77 3.7 宏观方程的精度 80 3.7.1 查普曼–恩斯库格展开系列方程 80 3.7.2 矩方程 81 3.7.3 收敛性 83 3.8 附录：最大熵原理 86 3.9 附录：玻尔兹曼方程的查普曼–恩斯库格展开 873.9.1 一阶近似 88 3.9.2 高阶近似 90 3.10 练习.90 第4章 玻尔兹曼碰撞项的数值计算 91 4.1 直接模拟蒙特卡罗方法.91 4.2 离散速度方法简介 94 4.3 快速谱方法 96 4.3.1 归一化 96 4.3.2 卡莱曼变换 97 4.3.3 卷积权重 99 4.3.4 具体实施 103 4.3.5 守恒修正 104 4.4 空间均匀系统的松弛过程 104 4.4.1 Bobylev-Krook-Wu理论解 104 4.4.2 不连续分布函数的抹平过程 106 4.5 空间非均匀系统的稀薄气体流动 108 4.5.1 正激波 108 4.5.2 外力驱动的泊肃叶流动 110 4.5.3 线性壁温诱导的稀薄流 112 4.5.4 周期性壁温诱导的稀薄流 115 4.6 真实分子势下的相关计算 116 4.6.1 线性玻尔兹曼碰撞项的求解 117 4.6.2 输运系数的精确计算 119 4.7 总结.121 4.8 练习.121 第5章 单原子气体的简化动理论模型 122 5.1 碰撞频率 122 5.2 碰撞频率与分子碰撞速度无关的模型 124 5.2.1 BGK模型.125 5.2.2 ESBGK模型 126 5.2.3 Shakhov模型 127 5.3 Gross-Jackson线性模型 128 5.3.1 非线性化 129 5.3.2 碰撞频率对模型精度的影响 130 5.4 碰撞频率与分子碰撞速度相关的模型 1315.4.1 Struchtrup-Mieussens模型 131 5.4.2 ν 模型 133 5.5 福克尔–普朗克模型 134 5.6 模型精度的检验 136 5.6.1 正激波 136 5.6.2 热蠕动 139 5.7 练习.140 第6章 典型的线性稀薄气体流动 141 6.1 库埃特流动 141 6.1.1 连续流和自由分子流下的理论解 142 6.1.2 过渡流数值解 142 6.1.3 克努森层函数 144 6.1.4 黏性速度滑移系数 146 6.1.5 等效黏度 146 6.2 泊肃叶流动 148 6.2.1 分布函数过集中现象 149 6.2.2 质量流量和热流 150 6.2.3 二阶黏性滑移系数 151 6.3 傅里叶热传导 152 6.4 热蠕动 154 6.4.1 热滑移系数 156 6.4.2 克努森层函数 157 6.5 昂萨格倒易关系 158 6.6 练习.159 第7章 时域上的稀薄气体效应 160 7.1 瑞利–布里渊散射 161 7.1.1 自发瑞利–布里渊散射 161 7.1.2 相干瑞利–布里渊散射 163 7.2 振荡库埃特流 164 7.2.1 自由分子流 165 7.2.2 滑移流 165 7.3 振荡顶盖方腔流 167 7.4 平面声波 170 7.5 方腔中的声波 173 7.5.1 两种干涉模式 1747.5.2 稀薄流的声速 175 7.6 气体的集体振荡 176 7.6.1 摇摆模式和呼吸模式 177 7.6.2 四极模式 178 7.6.3 剪刀模式 179 第8章 通用合成迭代算法 182 8.1 常规迭代的问题 182 8.1.1 收敛慢 182 8.1.2 伪收敛 184 8.2 加速收敛的核心思想185 8.3 通用合成迭代算法 188 8.3.1 GSIS-I 189 8.3.2 GSIS-II 191 8.4 GSIS 的性质 191 8.4.1 超收敛 191 8.4.2 渐近保持 193 8.5 数值计算测试 195 8.5.1 相干瑞利–布里渊散射 195 8.5.2 平板傅里叶热传导 197 8.5.3 偏心圆柱库埃特流 198 8.6 非定常GSIS 200 8.6.1 振荡库埃特流 200 8.6.2 泰勒涡 202 8.7 非线性流动的 GSIS.203 8.8 粒子方法的加速方案205 8.8.1 间歇性GSIS概念性论证 205 8.8.2 GSIS 加速DSMC方法 206 8.9 展望 209 第9章 气固边界条件 210 9.1 升尺度方法 210 9.1.1 雷诺润滑方程 210 9.1.2 泊肃叶流动的质量流量 213 9.1.3 热蠕动的质量流量 214 9.2 Cercignani-Lampis边界条件下的泊肃叶流动 215 9.2.1 平板泊肃叶流动 2159.2.2 圆管泊肃叶流动 217 9.3 Epstein 边界条件下的速度滑移系数.218 9.4 实验对比：矩形通道中的泊肃叶流动 220 9.5 实验对比：矩形通道中的热蠕动 221 9.6 实验对比：圆管上的热蠕动 223 9.7 混合边界条件 225 9.7.1 解释氦气实验数据 226 9.7.2 高超声速流动中的启示 226 第10章 多原子气体的简化动理论模型 228 10.1 量子化能级.228 10.1.1 转动能级 229 10.1.2 振动能级 229 10.2 王承书–乌伦贝克方程 230 10.2.1 体积黏性 231 10.2.2 热导率 233 10.3 DSMC方法中的热流弛豫速率 235 10.4 分子气体的动理论模型 238 10.4.1 Hanson-Morse线性模型 238 10.4.2 Hanson-Morse模型的非线性化 240 10.4.3 非线性模型 242 10.5 模型方程精度比较 247 10.5.1 正激波 247 10.5.2 麦克斯韦妖驱动的微流动 248 10.6 确定热流弛豫速率的方法 249 10.6.1 分子动力学模拟 249 10.6.2 瑞利–布里渊散射实验 249 10.7 总结与展望.251 第11章 高温气体辐射的动理论模型 252 11.1 气体辐射跃迁与光子输运 252 11.2 动理学建模.253 11.2.1 气体–气体相互作用项 255 11.2.2 气体–光子相互作用项 256 11.2.3 光子输运项 257 11.2.4 分布函数与模型方程的约化 257 11.2.5 无量纲参数 26011.3 数值计算 261 11.3.1 傅里叶热传导 261 11.3.2 库埃特流动 263 11.3.3 正激波 264 11.3.4 高超声速圆柱绕流 266 11.4 总结与展望.269 第12章 混合气体的简化动理论建模 272 12.1 多组分气体玻尔兹曼方程 272 12.2 模型方程 275 12.2.1 多弛豫碰撞模型 277 12.2.2 输运系数 279 12.2.3 组分间能量弛豫 284 12.2.4 不可分辨原则 285 12.3 模型参数的确定 286 12.4 数值验证 289 12.4.1 正激波结构 290 12.4.2 傅里叶热传导 294 12.4.3 二维圆柱绕流 297 12.4.4 喷管流动 299 12.5 总结 302 第13章 稠密气体的稀薄效应 303 13.1 恩斯库格方程 303 13.1.1 输运方程 304 13.1.2 输运系数 306 13.2 恩斯库格方程的推广 308 13.2.1 气液两相流 308 13.2.2 颗粒物质 309 13.3 快速谱方法.310 13.4 颗粒气体的加热 313 13.5 傅里叶热传
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第1章绪论 本章*先从微观角度出发，介绍气体的基本性质与热力学物理量；其次使用简单气体动理论推导并说明气体分子平均自由程及其在输运现象（如黏度、热导率和扩散系数）中的影响；然后介绍描述气体宏观流动的纳维-斯托克斯-傅里叶（Navier-Stokes-Fourier，NSF）方程，并通过实例说明该方程在稀薄气体流动中失效的问题；*后引入空间和时间克努森数的概念，阐述其在表征稀薄气体效应程度中的重要性。 1.1气体的性质 1.1.1相互作用势 一定宏观体积的气体由大量分子组成。这些气体分子始终处于快速且无规则的运动状态中，而它们的运动轨迹受分子间作用力的影响。例如，伦纳德-琼斯（Lennard-Jones，LJ）势一般可以较为准确地描述惰性气体以及简单非极性分子间的相互作用： （1-1） 其中，是势阱深度（能量单位，反映相互作用的强度）；r是分子间距离，当时势能为零。在给定相互作用势的基础上，可以得到两分子间的作用力： （1-2） 1-1展示了伦纳德-琼斯分子作用势以及相应作用力随着分子间距离r的变化关系，势能*低位置分子间作用力为零，在这个距离以内两分子间表现为排斥力，在这个距离之外则为吸引力。表1-1给出了一些典型惰性气体的分子作用势数据。 在稀薄气体动力学研究中，为了理论分析和计算的便利，在一定的温度范围内，经常采用逆幂律（inverse power law）作用势描述分子间的相互作用： （1-3） 其中，K表征分子间相互作用的强度；常数η≥2 （1）η=2对应静电库仑作用势。但是实际上，大量带电粒子间的德拜屏蔽使得分子间作用势呈现如下形式： （1-4） 其中，λd为德拜屏蔽长度。 （2）η=5对应假想的麦克斯韦作用势，后续我们会讨论玻尔兹曼碰撞积分的计算对于麦克斯韦分子可以得到极大简化。 （3）η=+∞对应假想的硬球（hard-sphere，HS）分子，即我们把每个气体分子假想为直径为σ的硬球。当两分子距离大于σ时，分子间无相互作用；一旦分子间的距离变为σ，则分子间产生无穷大的排斥力。在稀薄气体动力学中，硬球直径一般根据气体的黏度选取。惰性气体分子在零摄氏度下的等效直径见表1-1。 1.1.2状态方程 理想气体（idealgas）是统计物理学中一个理想化的气体模型，它假设气体分子间的相互作用可以忽略不计。该假设在物理上合理的前提要求是，每个分子的体积远小于它所占据的平均空间体积大小（气体分子直径远小于分子平均间距），或者分子间相互作用在任何距离下都极小。一般我们考虑前者这一更符合实际的情况，在无外力作用时，气体分子仅在短暂的相互碰撞中改变运动轨迹，且这一碰撞过程在不计气体分子内部自由度时，是动能守恒的完全弹性碰撞。 1834年，克拉珀龙（Clapeyron）从玻意耳-马里奥特（Boyle-Mariotte）定律（1662年）、查理（Charles）定律（1787年）、盖吕萨克（Gay-Lusac）定律（1802年）三大实验定律中总结出理想气体状态方程，其形式为 （1-5） 其中，为气体的压强（国际单位为帕斯卡（Pa），即N/m2）；n为分子数密度；T为理想气体的热力学温度（单位为开尔文为玻尔兹曼常量。该状态方程也可以写为如下形式： (1？6) 其中，N为气体分子数；V为气体的体积；m为单个分子的质量；M为气体的总质量；为气体常数。 每个气体的分子质量不一样，则气体常数不一样。有时候定义通用气体常数为，其中为阿伏伽德罗常量。此时，理想气体状态方程可以改写为 （1-7） 其中，为气体的物质的量，单位为摩尔（mol）。 在标准状态下，1mol理想气体所占的体积约为22.4L。又知道1mol分子的个数是阿伏伽德罗常量，因此气体分子间的平均距离为 （1-8） 该数值大概是分子相互作用距离的十倍。因此，在气压不太高的情况下，理想气体假设是成立的。 当气体密度增大到一定程度后，如当气体的压力较高或温度较低时，则气体分子的体积相对于它所占据的空间体积不可忽略，理想气体状态方程就不再适用。 范德瓦耳斯（vandeWaals）方程是*著名的非理想气体状态方程之一，其形式为 （1-9） 其中，a和b是范德瓦耳斯常数，分别表示分子间的吸引力和有限体积的效应。对于氦气和氖气，a的数值分别为和，b的数值分别为和。 1.1.3压强和温度的微观解释 压强是指作用在物体单位面积S上的垂直方向力F的大小。从分子运动论的角度来看，气体的压强就是气体分子不停撞击作用面的结果。这里我们考虑简单气体动理论的推导。假设每个气体分子速度为，但只往，六个方向运动，每个方向运动的概率相等。根据牛顿第二定律，分子撞击力等于单位时间内分子动量的改变量。由于分子质量远小于墙的质量，弹性碰撞导致分子速度被反转。于是在时间里，每个分子向上撞击z平面产生的力为 （1-10） 假设z平面内壁面微元的面积为S，则在时间里，处在体积为内的分子数为，其中六分之一会向上撞击z平面。因此，分子撞击产生的合力为 （1-11） 从而得到压强与分子平均速度的关系： （1-12） 实际上，更严格的推导将会说明上式中的平均速率（）应该被替换为方均根速率，见式（1-8）；从第2章的计算会发现，它们在平衡态下的差别非常小。结合理想气体状态方程（1-5），可得，这表明温度是分子平均动能的体现：温度越高，气体运动速度越大；当所有气体停止运动时，温度为零开尔文，即绝对零度。当气体处在平衡态时，每个方向的平均动能相等，即 （1-13） 1.1.4自由度、内能、热容 分子自由度是指描述一个分子运动状态所需的*立坐标或变量的数量，自由度反映了分子在空间中可以*立运动的方式。自由度的数量与分子的结构有关，它决定了分子的能量分布方式，进而影响其热力学性质。对于单原子分子，它可以沿着x、y和z三个方向自由移动，因此具有三个平动自由度。从式（1-13）可知，每个自由度对应的平均能量为，此即为统计物理中的能量均分定理。对于多原子分子，不仅具有平动能，还具有转动能、振动能和电子能等内部能量。假设多原子分子内部运动的自由度为，则每个分子对应的平均内部能量为。因此，单位质量上的气体分子的平均能量为 （1-14） 热容（heatcapacity，国际单位为J/K）表示物体温度每升高1K时所吸收的热量，而比热容定义为单位质量上的热容：，其中为所需的热量，为物体升高的温度。根据热力学**定律，物体内能的增加等于物体吸收的热量和外界对物体所做的功的总和。因此， （1-15） 可以定义定容比热容和定压比热容两个物理量。等体过程中，，因此定容比热容为 （1-16） 等压过程中，由式（1-6）可得。因此有定压比热容 （1-17） 绝热指数（比热比）γ为定压比热容和定容比热容之比： (1？18) 连续流下气体的声速与该参数息息相关： （1-19） 空气中的主要成分是氮气和氧气，均为双原子分子，常温下仅有转动能的激发，因此。所以常温下空气中的声速为。 1.2简单气体动理论 依据式（1-12），可以通过实验测定的压强和密度来计算气体分子的平均速度，即。在标准状态下，空气分子的平均速度大约为500m/s。面对这些数据，白贝罗提问：既然分子的运动如此迅速，为何室内的烟雾不会立即弥漫整个空间？在1858年，克劳修斯引入了分子平均自由程的概念，为这一疑问提供了解答：每个分子都要经历大量的碰撞，因此总在不断地改变运动方向，为了穿越一个小房间，它实际上要运动好几千米。随后，麦克斯韦在克劳修斯的理论基础上进一步推导出了气体的输运系数。这些理论的提出和方法的发展，对于我们初步理解稀薄气体动力学具有重要的意义。 1.2.1平均自由程 分子平均自由程是分子运动论中的一个重要概念，指的是分子在两次碰撞之间走过的平均距离，即图1-2中线段的平均长度。为简单计，采用硬球模型描述分子间的碰撞，并假设所有分子的热运动速率为，且运动各向同性。选定一个分子，在Δt的时间里，它相对于其他分子走过的路程为（平均相对速率是平均速率的倍）。在这段时间内，只要其他分子与它的距离小于分子直径σ，则肯定发生碰撞，碰撞次数为分子数，即分子的数密度n与碰撞体积的乘积。因此，分子平均自由程λ可以理解为分子通过的实际距离除以分子发生的总碰撞次数： （1-20） 表1-1给出了惰性气体在标准状态下的平均自由程，它们大于分子间的平均
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