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| 內容簡介： |
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《Sobolev空间》主要讲述Sobolev空间的基本理论。《Sobolev空间》共7章，第1章介绍连续函数空间和H。lder空间的常用性质，并证明H。lder模内插不等式；第2章详细介绍Lebesgue可积函数空间Lp(Ω)的性质和主要结论；第3章和第4章系统讲述整数阶Sobolev空间的基本性质，并给出嵌入定理、迹定理和Gagliardo-Nirenberg不等式的详细证明；第5章论述广义函数与Fourier变换的定义、运算和性质；第6章概述Riesz位势空间和Bessel位势空间以及实数阶Sobolev空间的定义和性质；第7章介绍Besov空间和Triebel空间的定义与基本性质。《Sobolev空间》内容深入浅出、论证详细、文字通俗易懂、便于学习。
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| 目錄：
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目录第1章 预备知识与连续函数空间 11.1 泛函分析预备知识 11.1.1 线性空间与距离空间 11.1.2 Banach空间和Hilbert空间 31.1.3 算子与嵌入 81.1.4 线性泛函与弱收敛 121.2 连续函数空间 161.3 H？lder空间 211.4 H？lder模内插不等式 25习题 1 30第2章 Lp空间 322.1 某些必须掌握的积分定理 322.2 Lp空间的基本性质 342.3 Lp空间的一致凸性与自反性 432.4 Lp空间的对偶空间 472.5 *在 Lp中的稠密性与 Lp空间的可分性 512.5.1 *在*中的稠密性 512.5.2 *在*中的稠密性 532.5.3 Lp空间的可分性 572.6 Lp空间中的列紧集 582.7 分布函数与弱Lp空间 652.8 Hardy-Littlewood极大函数 702.9 Riesz位势的Lp估计 742.9.1 * 742.9.2 *为有界区域 77习题 2 80第3章 整数阶Sobolev空间的基本性质 833.1 弱导数及其运算 833.2 弱导数与绝对连续函数 923.3 *的定义和基本性质 973.4 *中函数的光滑逼近 1013.4.1 截断函数与局部光滑逼近 1013.4.2 单位分解与整体光滑逼近 1043.5 *的刻画 1073.6 *的差商刻画 1093.7 *中函数的延拓 1173.8 *中函数的边界迹 1233.8.1 空间*的情形 1233.8.2 广义Green公式 1273.8.3 空间*的情形 128习题 3 129第4章 整数阶Sobolev空间嵌入定理 1314.1 Sobolev空间嵌入的必要条件 1314.2 *中的嵌入定理 1354.3 *中的嵌入定理 1444.4 *中的嵌入定理：多维情形 1504.5 *中的紧嵌入定理 1624.6 Poincaré不等式与等价模 1654.7 Gagliardo-Nirenberg不等式 1714.8 Sobolev空间的乘积估计 177习题 4 180第5章 广义函数与Fourier变换 1835.1 绝对可积函数的Fourier变换 1835.2 广义函数的基本空间 1885.3 广义函数空间 1935.3.1 广义函数的支集 1955.3.2 广义函数的极限 1975.3.3 广义函数的自变量变换 1985.3.4 广义函数的导数 1995.3.5 广义函数的乘子 2015.4 *和*的对偶空间 2025.5 广义函数的卷积 2065.5.1 广义函数与光滑函数的卷积 2065.5.2 广义函数的卷积 2085.6 广义函数的Fourier变换 2095.6.1 缓增广义函数的Fourier变换 2095.6.2 L2函数的Fourier变换 2135.6.3 Paley-Wiener定理 2145.7 径向函数的Fourier变换 217习题 5 219第6章 实数阶Sobolev空间 2226.1 Riesz位势与Bessel位势 2226.1.1 Riesz位势 2226.1.2 Bessel位势 2276.2 两个**的算子插值定理 2326.3 卷积算子和Fourier乘子 2406.4 Mihlin-H？rmander乘子定理 2456.5 Bessel位势空间* 2526.6 Riesz位势空间* 2556.7 分数阶Sobolev空间* 2606.7.1 定义和基本性质 2606.7.2 延拓定理 2656.7.3 嵌入定理 2666.8 迹定理 273习题 6 279第7章 Besov空间和Triebel空间 2827.1 Littlewood-Paley分解 2827.1.1 局部化方法与Bernstein不等式 2827.1.2 Littlewood-Paley分解及其性质 2847.1.3 Sobolev空间的Littlewood-Paley刻画 2947.2 Besov空间和Triebel空间的定义及基本性质 2967.3 Besov空间模的微分差分表示 3047.4 Besov空间和Triebel空间的嵌入定理 3117.4.1 嵌入定理 3117.4.2 内插不等式 3187.4.3 对数型Sobolev不等式 3227.5 当*和*时*的极限 3247.6 Besov空间与导数 330习题 7 338参考文献 341索引 347
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第1章预备知识与连续函数空间 本章主要讨论连续函数空间的基本理论.在1.1节中*先给出后面用到的泛函分析的一些基本概念和结论，其证明均可在泛函分析教材（如文献[9，114]）中找到.1.2节和1.3节给出连续函数空间和H？lder空间的定义与基本性质.1.4节给出H？lder模内插不等式及其详细证明. 1.1泛函分析预备知识 1.1.1线性空间与距离空间 设是一个集合，其元素表示为.定义中有加法运算，即对任意两个元素，存在一个元素与之对应，称为和的和，记为 对实或复数域，定义中的数乘运算，即对任一数及任一元素，存在一个元素与之对应，称为的数乘，记为 定义1.1.1具有加法和数乘运算的集合X称为实或复的线性空间，如果对加法构成一个群，即对满足下列公理： (i)加法交换律. (ii)加法结合律. (iii)在X中存在唯一元素使得对任意的，称为X中的零元素. (iv)对每个，在X中存在唯一元素，记为，使得.由此对，定义差（减法）. 对数乘满足通常向量的运算法则： (v)数乘分配律 其中. (vi)数乘结合律. (vii). 通常将线性空间称为向量空间，其中的元素也称为向量.当从上下文可以看出或不需指明朝数域是实数域或复数域时，将省略“实”或“复”的定语. 线性空间X的非空子集Y满足条件 则Y也是一个线性空间，称之为X的线性子空间.线性空间X的非空子集M称为凸的，如果对任意.显然每个子空间都是凸的. 设M是线性空间X的子集，称X中所有包含M的线性子空间的交集为M的线性包，记为.显然[M]是一个线性空间. 设是X中的元素，称集合 为的生成空间.称元素线性相关，如果存在不全为零的数使得 否则，称元素组线性无关. 空间的维数（记为）有三种情况：正整数或，则；若存在线性无关组使得对每个有唯一的表达式 定义1.1.2一个向量空间X称为代数，如果对任意，可以定义乘积使得如下公理成立： 定义1.1.3设X是一个非空集合，定义在Descartes积空间的非负泛函d称为距离，如果对任意的，它满足如下公理： (i)恒等性; (ii)对称性; (iii)三角不等式， 具有距离d的集合X称为距离空间. 设X是一个距离空间，对，称以u为心、半径为的球，即集合 子集称为X中的开集，如果对每个都存在一个使得.子集称为X中的闭集，如果M的补集是X中的开集. 定义1.1.4设X是一个距离空间，且，如果 则称为X中的基本序列或Cauchy序列. 如果存在使得，则称在X中收敛于，并称为的极限，记为. 显然，收敛序列的极限是唯一的；每个收敛序列都是基本列，反之不真. 设是距离空间X的基本列，是它的子序列，可以证明当时. 设M是距离空间X的一个子集，在中的闭包定义为 显然，是中的闭集的充要条件是. 子集称为X的稠密子集，如果，通常也称在中稠密. 距离空间X称为可分的，如果存在一个可数集在中稠密.如果存在X的不可数集和使得对任意，有，则X是不可分的. 如果距离空间X中每个基本列都收敛，则称X是完备的距离空间. 1.1.2Banach空间和Hilbert空间 定义1.1.5设X是数域K上的线性空间，如果的映射满足 (i)非负性; (ii)齐次性; (iii)三角不等式， 则称是X中元素u的范数或模.将线性空间X赋予范数后，称X为赋范（线性）空间. 三角不等式与范数的凸性是同一回事，即对，有 当需要指明赋范空间X的模时，用代替，此时将赋范空间X记为.若定义1.1.5中的仅满足非负性及(ii)，(iii)，则称之为半模，相应的空间称为半模空间. 每个赋范线性空间都是距离空间，其元素间的距离定义为 因此，前面距离空间的有关概念和结论对赋范空间均成立. 设X是赋范线性空间，是的一个子集，如果存在，使得，则称M为X中的有界集. 定义1.1.6设X是数域K上的线性空间，从Descartes积空间到数域K的映射称为X上的内积，如果它满足如下公理： (i)可加性; (ii)齐次性; (iii)对称性; (iv)非负性，当且仅当， 具有内积的向量空间X称为内积空间或酉空间. 若X为内积空间，对定义 则不等式 成立，因此是X上的模（由内积生成的模），从而X是赋范空间，并且满足平行四边形定律
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