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| 編輯推薦： |
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菲尔兹奖得主力作：凝聚国际知名数学家皮埃尔-路易·利翁二十年研究精华，以独特视角剖析可压缩流体方程的深层数学结构。前沿成果系统呈现：完整构建可压缩纳维-斯托克斯方程全局解理论框架，收录大量突破性证明与原创方法。跨学科研究范本：通过紧性分析、振动传播等现代数学工具，架起抽象理论与流体力学工程应用的桥梁，启发多领域交叉创新。
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| 內容簡介： |
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过去几十年来，应用数学领域具有挑战性的课题之一就是非线性偏微分方程理论的发展。力学、几何学、概率论等领域的许多问题在用数学术语表述时都会引出此类方程。然而，尽管非线性偏微分方程的贡献源远流长，但并不存在核心理论，重要的进展来自于对特定应用中出现的特定方程和方程类别的研究。这两卷著作是关于流体力学模型各种数学问题的独特而严谨的论著。这些模型由不可压缩和可压缩纳维-斯托克斯方程等非线性偏微分方程系统组成。第 2 卷将专门讨论可压缩模型的新成果，并试图从数学角度理解可压缩纳维-斯托克斯方程。这是一本涉及全局解问题的参考书。它包括关于柯西问题解的紧凑性、静止解的存在性和正则性以及全局弱解的存在性的独特资料。本书由非线性偏微分方程领域的世界有名的研究人员之一撰写，将成为该领域每一位严肃研究人员不可或缺的参考书。该书的时事性和作者清晰、简洁、深入的阐述，使其成为对科学中有关物理现象严格数学建模的重大理论问题的杰出贡献。
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| 關於作者： |
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皮埃尔-路易·利翁（Pierre-Louis Lions）是法国数学家，1956 年出生于格拉斯，1994 年获得菲尔兹奖。他于 1975 年进入高等师范学校学习。他致力于应用数学的研究，并于 1979 年在皮埃尔和玛丽居里大学获得学士学位。1979 年至 1981 年，他在法国国家科学研究中心担任研究员，1981 年成为巴黎多芬大学教授，1992 年至 2016 年成为巴黎综合理工学院应用数学教授。2002 年，他被任命为法兰西学院教授，担任 “偏导数和偏导数方程”讲座教授。
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| 目錄：
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第 5 章 可压缩等熵流纳维–斯托克斯方程的紧性结果 1
5.1 预备知识 1
5.2 紧性结果与振动传播 7
5.3 紧性结果的证明：整个空间的情况 15
5.4 紧性结果的证明：其他情况 30
5.5 正压流体 36
5.6 其他边值问题 39
第 6 章 定常问题 49
6.1 预备知识 49
6.2 时间离散问题的存在性结果和正则性结果 51
6.3 先验估计 57
6.4 紧性 80
6.5 存在性的证明 84
6.6 二维等温情况 97
6.7 定常问题 112
6.8 外流问题与相关的未解问题 128
6.9 解的正则性 144
6.10 相关问题 158
6.11 一般的可压缩流体模型 162
第 7 章 柯西问题的存在性结果 1727.1 先验上界 172
7.2 存在性结果 180
7.3 基于正则化的证明 182
7.4 基于时间离散的证明 197
7.5 正压流体 205
7.6 其他边界条件 209
第 8 章 相关问题 213
8.1 熵的纯输运 213
8.2 一个半定常模型 224
8.3 一个斯托克斯型模型 236
8.4 一些浅水模型 251
8.5 涉及温度的可压缩流体模型的紧性 254
8.6 涉及温度的可压缩流体模型的全局存在性结果 262
8.7 可压缩流体的欧拉方程 271
8.8 一个低马赫数模型 281
附录 A 关于一些函数空间的几个事实 288
附录 B 弱连续积 290
附录 C 关于索伯列夫（Sobolev）不等式极限情况的一个评注 292
附录 D 连续统与极限 295
附录 E LP 空间的和 297
附录 F 关于抛物型方程的一个评注 300
参考文献 307
勘误（第一卷） 337
索引 341
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| 內容試閱：
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本书旨在展示多种流体力学模型的各种数学结果，例如不可压缩流体和可压缩流体这两种模型的纳维–斯托克斯方程. 这些结果多是新的，而第二卷中的所有结果其实都是新的，虽然也有部分内容已经公布于不同场合。第一卷主要介绍不可压缩流体模型，而作为引言的第一章给出本书研究的各基本模型的推导。第二卷只考虑可压缩流体的方程，并且如前所述，这里的所有结果都是新的。因此，就许多方面而言，应该足以认为第二卷是一本尝试涵盖可压缩流体方程各种相关数学问题的研究专著。当然，我们会给出完整的证明并用非常完备的形式呈现出来，尽量不假设读者具有关于（非线性）偏微分方程和（或）数学分析的过多预备知识和技巧。最后，我们想提醒阅读过第一卷的读者，在第一卷中给出的第二卷预期目录与如下所述的第二卷实际目录有所不同。第五章至第八章（第二部分）的整体结构仍然是相同的，但是单独每一章现在都包含了远远更多的内容，因为我们补充了许多最近得到的新结果。考虑到这些章节的长度，我们决定去掉关于渐近极限的一章（最初计划作为第九章和第三部分），相应材料将在以后出版。
在简要描述本书主题之前，我们想提醒读者注意，虽然我们回顾（或引用）了相当多的文献，但本书，尤其是本卷，并不自诩为流体力学方程现有数学结果的完整总结。我们必然遗漏了该领域中的许多重要贡献，所以尽量通过一份相当广泛的参考文献清单加以弥补，但这份清单也绝非详尽无遗（我们提醒读者，一些参考文献没有在正文中引用）。最后，我们想明确指出，本书只关注牛顿流体，而没有涉及许多重要的研究对象，例如上述模型的数值近似、湍流模型、解的定性性质（分岔理论、稳定性分析、吸引子、惯性流形等）、化学反应流、燃烧模型、磁流体动力学（MHD）、地球物理流、多相流、自由边界问题，等等。
如我们所见，还有许多悬而未决的基本问题，我们会列出一份长长的重要未解问题清单。其实，我们还在这份清单中添加了一些新问题！在欧拉（以及后来
的斯托克斯）引入流体力学方程两个多世纪之后，尽管我们已经（缓慢地）取得了相当大的进展，这些方程在数学上仍有许多未解之谜。我们仅仅希望本书能为在数学上理解各种流体力学模型这一艰巨任务做出些许贡献。
我们现在介绍本卷内容。作为第一卷的延续，本卷内容也是完备的。最前面的一章是第 5 章，涉及可压缩等熵流纳维–斯托克斯方程的紧性。在这个阶段值得解释的是，这一章的主要目标之一是构造全局弱解（在某些情况下能够证明光滑解的存在性），其一般策略也非常明确：在适当近似下构造近似解序列，更准确地说，构造近似问题解序列。此后的关键问题是求相应序列的极限，这至少在形式上应该给出原始问题的解，并且这里的极限运算总是需要某种形式的紧性，以便处理非线性项。这就是第 5 章的主题——原始问题的近似解序列（如果选择近似解得当，则至少可以直接拓展到近似问题）。我们首先在第 5.1 节中给出一些预备知识（研究动机、相关定义和一些自然的先验上界），然后在第 5.2 节中介绍我们关于紧性的主要结果和一些实例，以便展示这时出现的一些困难。此后的第 5.3 和 5.4 节以层层递进的方式给出详细的证明，而最后两节给出此前结果和证明方法的一些推广。第 5.5 节考虑正压流体的情况，第 5.6 节处理各种边界条件（如外流、管流、在无穷远处取非零值等）。这些边界条件与此前各节中的典型情况略有不同，它们会额外导致一些困难。
第 6 章是相当长的一章，专门讨论定常问题和时间离散问题。这一章的内容之所以较多，是因为我们对定常问题的数学结构有话可说，而对依赖于时间的非定常问题则没有太多结果可讲。我们决定在紧性问题之后和存在性结果及证明之前讨论这些材料，因为（如前所述，用于实际构造全局弱解的）一种可能的近似过程正是时间离散过程，我们需要解决相应的时间离散问题。在一些一般性预备知识（第 6.1 节）之后，第 6.2 节给出我们关于（上述时间离散问题）解的存在性和正则性的结果，第 6.3—6.5 节给出其证明，其中每一节分别是证明的三个主要步骤之一的详细说明。我们首先推导先验估计，然后分析解序列的紧性，最后利用特定近似来构造解。第 6.6 节专门研究二维等温情况这一特例，这从数学角度来看是一种临界情况，我们使用由本书作者引入的集中紧性方法（[347]、[348]）进行研究。此后的第 6.7 节转而研究一些（实际的）定常问题，它们通常具有若干族解，我们可以通过总质量或更数学化的参数给出这些解的不同参数方程，以便阐明其结构。第 6.8 节分析其他边值问题，例如外流问题，这些问题在定常条件下涉及一些新的巨大困难。我们在下面的第 6.9 节中研究解的更高的正则性，并通过一些例子表明，这样的正则性在真空存在时通常是不可能的。而在没有真空的情况下，我们证明了关于定常问题解的正则性的一些微妙结果。第
6.10 节涉及各种推广，例如向正压流体的推广。最后，我们在第 6.11 节中展示怎样使用或调整前面的结果和方法，以便处理一般的（包括温度方程的）可压缩流体模型的定常问题。
第 7 章转向全局弱解的存在性。我们首先在第 7.1 节中考虑密度的一些新的（并且有些微妙的）先验上界，然后在第 7.2 节中叙述（并评论）我们关于存在性的主要结果，还列出一些尚未解决的重要问题。此后的两节展示解的两种不同构造方法（借助于两类近似过程），一类基于问题的正则化序（第 7.3 节），另一类基于时间离散（第 7.4 节）。最后，我们展示向一般的正压流体（第 7.5 节）和其他边值问题（第 7.6 节）的推广或调整。
最后的第 8 章包含各种相关问题的结果（及证明），其主要目标之一是理解包含温度的模型所涉及的一些困难并展示我们的结果在这些模型中的应用。我们的研究从第 8.1 节的一个简化模型开始，其中的熵不再是常数，而是简单地被运动的流体所输运。对于这样的模型，可以沿用此前各章的分析。然后，我们考虑其他一些模型（这些模型看起来更像等熵模型，尽管它们都是为其他应用而引入的，例如浅水问题）。这时我们的方法可以与新的论据相结合，从而给出相当完整的分析。具体而言，我们考虑了一个半定常模型（第 8.2 节），一个斯托克斯型模型（第 8.3 节）和一些浅水模型（第 8.4 节）。此后的第 8.5 节讨论含有温度方程（或能量方程）的可压缩流体模型的解的紧性。遗憾的是，我们需要假设存在一些（未知的）上界，而这就是我们在第 8.6 节中只对其中的部分模型证明了一些存在性结果的原因。粗略地说，在我们所处理的上述情况下，本构关系（例如压强所满足的关系式）仅在密度非常大时才与理想气体假设不同，这样的修改使我们能够得到一些缺失的上界，从而证明全局弱解的存在性。随后，第 8.7 节简要讨论可压缩流体的欧拉方程并提出一些相当大胆的猜测，这些猜测或多或少受到了我们关于可压缩流体纳维–斯托克斯方程的分析的启发！最后，第 8.8 节简要讨论一个低马赫（Mach）数模型。
以上各章之后是六个（技术性更强的）附录，前面的证明需要这些附录。附录之后是本书总的参考文献，即第一卷和第二卷的联合参考文献。最后还有一个小的勘误表，其中列出了我们在第一卷中发现的一些印刷错误。
Pierre-Louis Lions
巴黎和阿雅克肖
1996 年
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