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| 編輯推薦： |
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本书遵循教指委相关指导文件和高等院校学生学习规律编写而成。践行四新理念，融入思政元素，注重理论与实践相结合。
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| 內容簡介： |
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本书作为抽象代数领域的基础教材，涵盖了群论、环论、域及伽罗 瓦理论的核心内容. 本书内容翔实，通过大量实例深入浅出地阐释了 群、环、域等抽象概念，既包括了富有启发性的趣味案例，如魔方的运 用，也简要介绍了学科的前沿话题，例如椭圆曲线群的相关知识. 对于 重要概念的历史背景，本书以脚注的形式加以阐述，以便读者把握抽象 代数的发展脉络. 本书的论述由表及里，逐步深入，适合初学者系统掌 握抽象代数的基本原理与技巧. 本书可作为高等院校数学相关专业的教材或教学参考资料，同时可 作为对代数领域感兴趣的读者的自学材料. 本书附带了课件、课程大纲 等电子教学资源，以便教师进行教学活动. 各小节后均设有习题，旨在 帮助学生巩固对所学知识的理解.
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| 關於作者： |
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孙超超，临沂大学数学与统计学院教师，从事数论、代数等课程的教学及研究。获国家自然科学基金资助一项，发表研究论文数篇。
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| 目錄：
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目 录
CONTENTS
前言
第 1 章 群论 1
1.1 集合 1
习题 1.1 6
1.2 群 7
习题 1.2 11
1.3 置换群 12
习题 1.3 16
1.4 子群 17
习题 1.4 23
1.5 同态 23
习题 1.5 26
1.6 商群 27
习题 1.6 30
1.7 群作用 31
习题 1.7 34
1.8 群直积与半直积 34
习题 1.8 37
1.9 有限生成的交换群 38
习题 1.9 42
1.10 对称 * 43
习题 1.10 48
第 2 章 环论 49
2.1 环的概念 49
习题 2.1 53
2.2 环同态与理想 54
j 抽象代数初步
习题 2.2 57
2.3 商环与积环 57
习题 2.3 62
2.4 交换环 62
习题 2.4 67
2.5 唯一分解性 68
习题 2.5 75
2.6 分式域与局部化 76
习题 2.6 79
2.7 代数整数环 * 79
习题 2.7 83
第 3 章 域及伽罗瓦理论84
3.1 域的扩张 84
习题 3.1 90
3.2 分裂域 90
习题 3.2 94
3.3 伽罗瓦群 95
习题 3.3 98
3.4 伽罗瓦对应 99
习题 3.4 103
3.5 方程的根式解 103
习题 3.5 107
3.6 域扩张中的迹与范 *108
习题 3.6 111
附录 112
附录 A 整数与复数 112
A.1 整数 112
A.2 复数 114
附录 B Wedderburn 小定理118
参考文献 121
符号索引 123
名词索引 124
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| 內容試閱：
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前 言 FOREWORD 本书作者旨在编撰一部抽象代数的讲义. 国内外已有不少同类著作， 名家编 著也不少， 诸如李文威著的《代数学方法》， 塞尔日·兰 (Serge Lang) 的《代数》， 内容涉及广泛， 对于优秀的学生来说， 是很好的选择， 但对于一般院校的学生而言， 难度颇高. 为了使一般的学生学起来容易上手并且对教师而言易于讲授， 我们甄 选了相关素材来编写本书. 本书的编写按历史的脉络， 循序渐进地展开， 难免也会 掺入一些主观见解， 虽无新增知识内容， 但对于学习者阅读来说有趣， 受启发， 也 就有些许意义. 本书的编写力求生动有趣、开放包容、还原历史、跟进前沿. 群的概念对于 初学者而言， 颇为抽象，但其实有比较好的引入示例——魔方. 魔方不仅是一款益 智玩具，同时还蕴含很多群的知识. 另外，一些比较重要和有趣的群我们也会简 单提及. 例如，“魔群”，是阶数最大的散在单群，它和模形式中的 j-不变量有深刻 的联系；“模群”， 是和模形式相关的群; 椭圆曲线是兼有理论和实际应用的群，理 论方面比如像 BSD(Birch and Swinnerton) 猜想， 是仍在进展的前沿问题， 应用方 面则有椭圆曲线的离散对数加密算法. 另外，椭圆曲线也和模形式有神奇的联系， 就是所谓的 Shimura-Taniyama-Weil 猜想，也已经完全证实. 群是描述对称的工 具，故而我们单列一节简单介绍对称这个主题. 对称在生活、建筑、绘画乃至音乐 领域均有体现， 例如莫扎特有一首很有趣的回文曲，即从正反两个方向演奏都是 一首很优美的曲子. 对于重要概念的产生，我们在脚注中加以简单介绍，以窥历 史原貌. 群产生于方程的求根问题. 对于五次以上一般代数方程没有根式解，著 名数学家阿诺德 (Arnold) 曾给出一个高中生即可理解的简单证明，我们也在脚 注里提及出处， 供感兴趣的读者探究. 抽象本身是一种哲学方法. 对一些具有共性的具体实例的本质要点加以提炼 概括， 所得理论具有更加广泛的适用性. 自然， 读者理解起来有时不免云里雾里， 所以还是要透过具体实例来理解， 方能体会其中含义. 例子本也无须多而奇， 能展 示理论本身的要点最好. 抽象代数也并未如其名那般抽象， 本书讲授的是群、环、 域的基本概念. 经典的概念具有强大的生命力， 它们从历史中沉淀而来， 恰如文学 名著. 当下科技突飞猛进， 文献资料浩如烟海， 然而终归沙多金少， 留下的方才熠 j 抽象代数初步 熠生辉. 数学在某种程度上类似艺术， 不同人的品位自然不同. 数学的专业学习既需 要严格的训练， 也需要广泛的交流， 譬如读沙法列维奇 (I. R. Shafarevich) 的《代 数基本概念》便会有种交流的感觉. 多阅读名家的作品总归是好的， 开卷有益. 本书借鉴了李文威、罗特曼 (J. Rotman)、阿廷 (M. Artin)、兰 (S. Lang) 等 人的著作， 在此致谢. 另外， 本书的出版得到了临沂大学数学与统计学院以及机械 工业出版社的支持， 在此一并表示感谢. 有些小节加了星号，可根据课时的多少适 当选择讲授. 限于编者才学，不当之处望读者朋友指正. 孙超超 田运波 李 娟 2024 年夏 于临沂大学
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