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| 編輯推薦： |
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本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码，并提供网络下载和二维码扫描两种免费获取方式。
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| 內容簡介： |
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本书从理论和实践出发，全面介绍求解微分方程的数值方法——有限差分法，并简单地介绍有限元法. 全书共6章，主要内容包括：预备知识、常微分方程的数值解法、抛物型偏微分方程的有限差分法、双曲型偏微分方程的有限差分法、椭圆型偏微分方程的有限差分法、有限元法简介等. 本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码等。
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| 關於作者： |
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华冬英，博士，北京信息科技大学理学院副教授，长期从事高等学校数学领域基础课程教学，教学经验丰富。北京市教委精品课程《高等数学》主要参与人，国家级《高等数学》优秀教学团队骨干教师。
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| 目錄：
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目 录
第一章 预备知识1
第一节 微分方程的相关概念与分类1
一、微分方程的相关概念1
二、微分方程的分类2
第二节 数值分析的工具3
本章要求及小结6
习题一6
第二章 常微分方程的数值解法7
第一节 欧拉（Euler）方法8
一、欧拉方法8
二、梯形方法9
三、改进的欧拉方法11
第二节 误差分析的相关概念12
一、局部截断误差与相容性12
二、稳定性13
三、收敛性14
四、收敛阶的数值意义15
第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta）
方法15
一、泰勒级数方法16
二、龙格-库塔方法17
第四节 线性多步法20
一、线性多步法21
二、阿当姆斯方法24
三、预估—校正方法26
第五节 一阶方程组及高阶方程初值问题
的解法27
一、一阶方程组初值问题的解法27
二、高阶方程初值问题的解法29
第六节 两点边值问题的解法30
一、打靶法求解两点狄利克莱边值
问题30
二、打靶法求解两点混合边值问题32
三、差分法求解两点狄利克莱边值
问题33
四、差分法求解两点混合边值问题36
第七节 高精度算法39
一、理查德森（Richardson）外推法39
二、紧差分方法42
本章参考文献43
本章要求及小结43
习题二44
第三章 抛物型偏微分方程的有限差分法46
第一节 向前欧拉方法46
一、向前欧拉格式46
二、向前欧拉格式解的存在唯一性、
稳定性和收敛性分析48
三、数值算例52
第二节 向后欧拉方法55
一、向后欧拉格式55
二、向后欧拉格式解的存在唯一性、
稳定性和收敛性分析57
三、数值算例57
第三节 Crank-Nicolson方法60
一、理查德森差分格式61
二、Crank-Nicolson差分格式65
三、Crank-Nicolson格式解的存在唯一性、
稳定性和收敛性分析67
四、数值算例68
第四节 高精度算法69
一、理查德森外推法70
二、紧差分方法76
第五节 混合边界条件下的差分方法80
一、几种差分格式的建立81
二、差分格式稳定性的讨论84
三、数值算例87
第六节 二维抛物型方程的交替方向隐
格式89
一、向前欧拉格式90
二、Crank-Nicolson格式91
三、交替方向隐（ADI）格式94
四、关于添加辅助项的说明97
五、数值算例100
第七节 二维抛物型方程的紧交替方向
隐式方法101
一、二维紧差分格式101
二、紧交替方向隐格式103
三、紧ADI格式的收敛性分析105
四、数值算例105
本章参考文献106
本章要求及小结107
习题三107
第四章 双曲型偏微分方程的有限差分法110
第一节 一阶双曲型方程的若干差分
方法110
一、精确解所具有的波的传播性质及
对初值的局部依赖性110
二、迎风格式111
三、一个完全不稳定的差分格式113
四、蛙跳（Leapfrog）格式113
五、Lax-Friedrichs 格式115
六、Lax-Wendroff格式116
七、Beam-Warming格式116
八、隐格式的设计117
九、Courant-Friedrichs-Lewy条件118
十、数值算例119
十一、推广120
第二节 二阶双曲型方程的显式差分法122
一、三层显差分格式的建立122
二、显格式的稳定性、收敛性分析123
三、改进的三层显格式126
四、数值算例127
第三节 二阶双曲型方程的隐式差
分法128
一、隐差分格式的建立128
二、隐格式的稳定性、收敛性分析130
三、数值算例131
第四节 二阶双曲型方程的紧差分
方法131
一、紧差分格式的建立131
二、紧差分格式的稳定性、收敛性
分析133
三、数值算例135
第五节 二维双曲型方程的交替方向
隐格式135
一、显差分格式135
二、交替方向隐格式137
三、交替方向隐格式的稳定性、收敛性
分析140
四、二维抛物型方程交替方向隐格式的
稳定性142
五、数值算例142
第六节 二维双曲型方程的紧交替方向
隐式方法143
一、二维紧差分格式143
二、紧交替方向隐格式145
三、紧交替方向隐格式的稳定性、
收敛性分析146
四、二维抛物型方程紧交替方向隐格式
的稳定性148
五、数值算例148
本章参考文献149
本章要求及小结150
习题四150
第五章 椭圆型偏微分方程的有限差分法155
第一节 五点菱形差分方法155
一、五点菱形格式155
二、五点菱形格式的收敛性分析159
三、数值算例162
第二节 九点紧差分方法162
一、九点紧差分格式163
二、九点紧差分格式的收敛性分析165
三、数值算例170
第三节 混合边界条件下的差分方法170
一、二阶差分格式171
二、差分格式的收敛性分析176
三、数值算例176
本章参考文献177
本章要求及小结177
习题五177
第六章 有限元法简介182
第一节 一个引例182
一、常微分方程两点边值问题的等价
形式182
二、模型问题的有限元法184
三、有限元法的编程185
四、有限元法的收敛性分析188
五、数值算例189
第二节 变分原理与弱解190
一、原问题的等价变分形式191
二、Lax-Milgram定理192
第三节 有限元空间的构造194
一、对区域 ? 的剖分194
二、三角形一次元194
三、一次元的基函数与面积坐标195
四、三角形二次元及其基函数196
第四节 有限元法的实现198
一、单元刚度矩阵及单元荷载198
二、总刚度矩阵和总荷载的合成199
三、边界条件的处理200
四、数值算例200
第五节 抛物型方程初边值问题的有限
元方法201
一、原方程的变分形式201
二、用有限元法进行空间半离散202
三、用差分法进行时间全离散203
四、相关量的数值计算203
五、编程时的一些说明204
六、数值算例204
本章参考文献205
本章要求及小结205
习题六205
附录A 二阶线性偏微分方程的变换与分类207
附录B 四阶龙格－库塔方法的推导212
附录C 解线性方程组的迭代法217
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| 內容試閱：
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前 言
在自然科学、工程技术甚至经济管理领域中的很多数学模型，其表现形式通常为常微分方程或偏微分方程的定解问题，如何有效地进行求解是非常关键的. 这些微分方程定解问题的精确解通常是很难用解析的方法求得的，所以很大程度上要依靠数值求解. 现代计算技术软、硬件的发展为借助计算机的数值求解微分方程垫定了媒质基础，而真正高效地求解微分方程的定解问题则更需要坚实的数学理论和计算机编程实践基础，为此我们编写了这本教材.
该教材具有如下特色：
① 教材起点比较低，为了适应一般院校学生数学基础相对薄弱的特点，直到最后的两三章才使用变化较多的差分算子记号，使学生一开始就不被这些算子记号而束缚，而在经过前几章的学习、逐渐适应了常用的差商表示以后，再引入这些算子就显得很自然、也很有效了.
② 在内容和描述上，我们尽可能地把复杂、深奥的数学理论用简单、通俗的语言和例子进行描述，把一些问题最本质的特点反映出来，让学生看得见、摸得着，知其然还知其所以然. 通过一些思路的描述，让学生了解各种方法的实际演化，从而明白算法改进的实际意义其实本质上就是追求更好、更优，让学生切实体会到这些理论的实际意义.
③ 国内的很多基础教材在微分方程的求解方面都侧重于传授理论知识，而实际上，我们认为微分方程数值求解的理论固然重要，而相应的编程实践同样重要. 所以两的都要抓，两手都要硬，这就是我们既把理论知识又把编程算例写入教材的初衷. 让学生从一开始就实实在在地进行编程，从模仿到独立完成. 教材中的算例配上程序和结果是为了让学生能自己实践和对比，从而提高学生的实践操作能力.
④ 在配套的程序编写方面，我们采用C语言进行程序设计，主要是因为一般高等院校普遍开设过《C语言程序设计》这门课程，C语言也是程序设计的主流高级语言. 另外，C语言数组从0开始编号的特点也正好与微分方程的数值计算理论中从0开始设置下标相匹配.
⑤ 此外，我们的程序设计也从简到难，从开始十几行的代码到后来百来行的代码，从开始简单的数组到后来文件数据的存储、读取，以及与MATLAB软件结合来画图，都遵循循序渐进的原则，让学生最后能系统地学会独立编程.
⑥ 本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码，请登录华信教育资源网（http：www.hxedu.com.cn）免费注册下载，或扫描封底、章首和习题的二维码获取相关教学资源。
全书共分6章，主要内容包括：第一章预备知识，介绍常用的差商近似及泰勒公式等；第二章常微分方程的数值解法，主要介绍常微分方程初值问题的有限差分方法，包括最经典的欧拉方法、龙格－库塔方法等，还介绍了差分法的相容性、稳定性及收敛性的概念，然后推广到求解二阶常微分方程的边值问题，为后面介绍偏微分方程定解问题的有限差分法打下基础；第三章抛物型偏微分方程的有限差分法，第四章双曲型偏微分方程的有限差分法，第五章椭圆型偏微分方程的有限差分法，本着从易到难的原则，以上3章分别介绍偏微分方程的3种标准方程在带不同初、边值条件下的差分解法；最后第六章有限元法简介，主要介绍了有限元法的实际意义及简单的编程操作.
本书可作为一般高等院校信息与计算科学专业的基础教材，也可供相关领域的工程技术人员学习和参考.
教学中，可根据教学对象和学时等具体情况对书中的内容进行删减和组合，也可以进行适当扩展，参考学时为48～64学时.
本书第一章至第五章由华冬英编写，第六章由李祥贵编写，所有程序由李祥贵编写. 全书由华冬英统稿. 在本书的编写过程中，电子工业出版社的王羽佳编辑为本书的出版做了大量工作. 在此一并表示感谢！
由于时间紧促，作者学识有限，书中难免有疏漏及错误之处，恳请广大读者批评指正.
作 者
20016年6月
2015年7月
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