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編輯推薦: |
这是一本给小学高年级学生和中学生的一本数学知识读物。随着年级的增长,学生需要掌握的数学知识越来越多,如何充满兴致地掌握枯燥的数学知识,无论是对于家长还是学生,都是一个令人头疼的问题。这本书介绍了数学学习中各种数的知识点,如自然数、整数、素数、有理数与无理数、对数与指数、圆周率等,一个对页讲解一个知识点,逻辑清晰,排版设计活泼,让数学的学习生动有趣起来,是一本干货满满的课外知识读物,不仅有助于学生掌握数学知识点,还能培养学生的逻辑思维能力,培养数学思维。
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內容簡介: |
数的世界是无穷无尽的…… “数”的概念可以追溯到埃及文明、美索布达米亚文明的时代,之后才普及至全世界。 但是,虽然统称为“数”,就性质还可分为“素数”“自然数”“整数(0是整数)”“有理数”“无理数”等。 除此之外与“数”相关的还有“图形数”“魔方阵”。 “圆周率(π)”也是数的一种。本书内容主要集中在“数”本身——尤其是其自身的奇特性质,从而不断接近“数”的本质。
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關於作者: |
今野纪雄1957 年生于东京。1982 年毕业于东京大学理学部数学专业。1987 年修完东京工业大学大学院理工学研究科博士课程学分后退学。随后担任过室兰工业大学数理科学共同讲座的教授助理、康奈尔大学数理科学研究所客座研究员,现在于横滨国立大学大学院工学研究院担任教授。主要著作有《图解拓扑学 超入门》《看漫画也能学复杂的网络结构》《看漫画也能学统计入门》《图解杂学 复杂系》《图解杂学 概率》《图解杂学 概率模型》等。
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目錄:
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第1章 “数”的分类 1
1 “数”是何时被发现的 2
2 “自然数”与“集合” 4
3 “负数”是什么 6
4 “偶数”与“奇数”的区分方法 8
5 乘除法运算中重要的“倍数”与“约数” 10
6 “素数”是什么 12
7 “有理数”是什么 14
8 “无理数”是什么 16
9 “小数”是什么 18
10 “实数”是什么 20
Column1 能够快速记住无理数的双关语 22
第2章 一个特别的存在“0” 23
1 “0”是在何时何地诞生的 24
2 0的存在为什么很重要 26
3 0是如何被人们知道的 28
4 受0恩惠的“计算” 30
5 0和空集有相似的关系 32
6 0、垂线和平面坐标 34
7 使用0可以简单地表示数值很大的数字 36
8 我们身边随处都有0 38
Column2 “新世纪”为何不从0开始 40
第3章 拥有各种猜想的“素数”及其不可思议的性质 41
1 素数是“重要的”数吗 42
2 素数有无限多个 44
3 素数是如何分布的 46
4 “孪生素数”是什么 48
5 埃拉托色尼的素数筛选法 50
6 “能够推导素数的公式”并不存在 52
7 “梅森数”是什么 54
8 梅森素数是不是有无限多个呢 56
9 从心底里爱着素数的人们 58
10 “费马数”是什么 60
11 “哥德巴赫猜想”是什么 62
12 一些奇奇怪怪的素数们 64
Column3 “仅由1组成”的素数寥寥无几 66
第4章 由“约数”引申而来的各种各样的数 67
1 “不足数”是什么 68
2 “丰沛数”是什么 70
3 “完全数”是什么 72
4 有没有“是奇数的完全数” 74
5 “亲和数”是什么 76
6 好不容易被发现的“亲和数对” 78
7 关于亲和数的“猜想” 80
8 “交际数”是什么 82
9 “奇异数(数论)”是什么 84
Column4 至今仍未被证明出来的“3x+ 1问题”是什么 86
第5章 图形和数相结合的“图形数” 87
1 “三角形数”是什么 88
2 推导三角形数的公式 90
3 在组合中登场的三角形数 92
4 “四角形数(平方数)”是什么 94
5 有没有“五角形数”和“六角形数”呢 96
6 费马的猜想 98
7 在组合中登场的“正四面体数”是什么 100
8 “立方数”是什么 102
9 “平方数”与“立方数”是什么关系 104
10 “平方数”与“立方数”的和 106
11 华林的猜想 108
Column5 令人怀念的“寺山算术” 110
第6章 非常不可思议的“幻方” 111
1 “幻方”是什么 112
2 “幻和”是什么 114
3 低阶幻方的数量有多少 116
4 4阶幻方的不可思议之处 118
5 中心对称的“对称幻方” 120
6 幻方的“制作方法” 122
7 幻方也有很多不同种类 124
8 从六角形衍生而来的“魔方六方阵” 126
Column6 幻方与“行星”有关系吗 128
第7章 圆周率“π”的历史 129
1 “π”是什么 130
2 “圆周率”这种想法的起源是什么 132
3 π 的近似值是多少 134
4 东方关于 π 值的研究 136
5 数学史上个“推导出 π 的公式” 138
6 推导 π 的各种各样的公式 140
7 从人力走向计算机的时代 142
8 π 是无法用分数表示的无理数 144
9 用到 π 的公式五花八门 146
10 “化圆为方问题”是什么 148
Column7 在线“整数列查询网站(OEIS)” 150
第8章 将计算化繁为简的“指数”与“对数” 151
1 “加法”比“乘法”简单 152
2 “等比数列”是什么 154
3 “指数的和”是什么 156
4 “减法”比“除法”简单 158
5 “等比数列”和“等差数列” 160
6 纳皮尔的奇想 162
7 纳皮尔将底数定为“0.9999999” 164
8 为什么使用“0.9999999”呢 166
9 “对数”是什么 168
10 “e”是什么数① 170
11 “e”是什么数② 172
12 “e”是什么数③ 174
13 与微分和积分密切相关的“e” 176
Column8 夏尔?埃尔米特的悔恨 178
参考文献 179
索引 182
后记 185
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內容試閱:
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这本书是对各种各样的数,特别是对它们那不可思议的性质进行分析、讲解。在这里,就先简单地介绍一下素数的魅力吧。相信很多人都知道,素数的定义是“一个大于1的自然数,且约数为1和其本身的数”。具体来说,就是像“2、3、5、7、11、13、17”这一类的数。而“4”的约数除了 1和 4 之外还有 2,所以 4 不是素数。虽然素数像这样被人们如此简单地定义了,但是其性质和构造却是既丰富又深奥,仿佛像一汪“取之不竭”的泉水。首先,素数到底有多少个呢?就算不知道准确的个数,那到底是有穷个?还是说有无限多个呢?其实呀,素数是有无限多个的!但是,关于这个结论的证明在大约 2300 年前,也就是遥远的古希腊时代,就已经出现在了欧几里得所著的《原论》这本书上。这实在是令人吃惊,具体内容将在本书的第3章为大家说明。其次,我们来看看孪生素数,相差 2 的 1 组 2 个的素数对被称为孪生素数,如(3,5)(5,7)(11,13)等。可是,关于孪生素数,虽然有“像素数一样拥有无限多个”的猜想,但是至今为止,谁都没能成功将其证明。这个孪生素数猜想也是数学界有名的一个未解之谜。与之相关联的,在 2013 年,美国新罕布什尔大学的张益唐证明出了“存在无穷多对素数,其差小于7000”。这个新闻在一瞬间就轰动了全世界,在日本也被刊登到了体育新闻上,被广为宣传。犹记得,他在发现这个新定理的时候已经将近 60 岁高龄的事情也引起了很高的关注度。至今,“七千万”这个范围已经被很大幅度地缩小了,但遗憾的是,素数对间隙的这个范围还是没有缩小到“2”。也许终有一天,孪生素数猜想会被证明,就像人们猜想的那样——“孪生素数有无限多个”。顺带提一下,肯定有人也知道,除了上述谜题外,另一个数学界的未解之谜之一——黎曼猜想。这个猜想是由德国的数学家黎曼在 1859 年所著论文的基础上提出的,实际上与素数是如何分布的这一点密切相关,其论文的标题就是“论小于某给定值的素数的个数”。 是不是同刚才的孪生素数猜想一样,也与素数的分布有关呢?那么,那些相差为 2 的 1 组 3 个的素数,也就是人们所说的三胞胎素数一共有多少组呢?其实呀,本书在之后也会讲解,可以很轻易地证明出只有(3,5,7)这一组。像这样 3 个素数以(p,p 2,p 4)的形式虽然只有一组存在,但是如果稍微改变一下条件,来考虑一下 3 个素数以(p,p 2,p 6)的形式存在的三胞胎素数,情况就会大不相同了。这种情况下,又有很多如(5,7,11)(11,13,17)(17,19,23)等素数对的存在,于是就又有了无限对存在的猜想。关于这一系列的猜想和证明在逐渐发展。此后,4 个素数以(p,p 2,p 4,p 6)的形式存在的四胞胎不存在这件事就立刻被证明了。但是人们又想改变一下条件来研究,比如说 4 个素数以(p,p 2,p 6,p 8)的形式存在的四胞胎素数,则存在诸如(5,7,11,13)(11,13,17,19)这样 1 组以上的素数对,但是是否有无限对存在这一点,目前还没有被证明。此外,2 个 1 组的素数对除了(p,p 2)的形式以外,现在人们经常研究的还有以(p,p 4)形式存在的表兄弟素数对,和以(p,p 6)形式存在的六素数对。像这样有着五花八门的素数对的存在,关于它们的猜想和研究也还有很多,一旦说起来就没有尽头了,我们暂且先说到这里。在学校学习数学时,基本上被教授的都是已经得出结论的知识,所以很多人的印象里就会有“在这个宇宙中解不开的问题非常稀少,而且好像不是只有一些特殊的问题存在吗”这样的想法,更有甚者还有“数学难道不是的吗”这样的想法。这其实是不对的,虽然“有些问题很容易就能够理解,觉得好像看上一眼就能够解开”,但是“其实是怎么也解不开的非常难的问题”。从这个角度来看,数字真是一座问题的“宝”山!就像我前面说的一样,仅仅是数字里面的素数,而且是极其小的一部分的话题,都可以被无限展开。虽然说我的主要研究方向是概率论,但是在研究过程中经常会有数字,特别是自然数的出现。倒不如说是,概率由于排列组合的存在,需要计算的东西并不少,所以亲和性很高,与数字经常打交道也可以说是理所当然。可是,在意料之外的地方突然碰见数字的那种喜悦,对于一个研究者来说,是用什么东西都无法代替的。我这么说可能有一点夸张,但是“表述数字就相当于表述数学”,这么说也不为过吧。本书是在 2001 年出版的《图解杂学 不可思议的数字》(Natsume出版社)的基础上,大幅修改后的出版物。后说一点,科学书籍编辑部的石井显一先生,就此次出版关联的工作事无巨细悉心地帮助我,我深受他的恩惠,在此深表感谢。
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