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《流动与传热数值计算：若干问题的研究与探讨》适用于高等院校和科研单位的研究生、工程技术人员和研究人员，也可作为能源动力、石油化工等相关专业的计算流体力学与传热学课程的参考用书。
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| 內容簡介： |
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《流动与传热数值计算：若干问题的研究与探讨》介绍了笔者近十年教学和科研中积累的对流动与传热数值计算若干问题的一些认识，包括网格生成、方程离散、格式性质、多重网格、收敛准则和POD低阶模型等。
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| 目錄：
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目录
序
前言
第1章非结构化四边形网格铺砌法1
1.1非结构化四边形网格生成技术概述1
1.1.1间接法l
1.1.2直接法9
1.2改进的非结构化四边形网格铺砌法3
1.2.1传统铺砌法的基本原理3
1.2.2传统铺砌法的实施步骤3
1.2.3改进铺砌法的步骤及关键技术9
1.3改进的铺砌法实例及性能分析 19
1.3.1 网格生成实例 19
1.3.2算法性能分析 21
1.4小结 24
参考文献 24
第2章控制方程的离散 27
2.1通用控制方程 27
2.1.1现有通用控制方程的局限性分析 28
2.1.2通用控制方程的新形式 28
2.1.3物理问题与结果分析 29
0.0基于局部解析解的圆柱坐标系导热方程的离散32
2.2.1基于局部解析解的圆柱坐标系导热方程的离散 32
2.2.2物理问题与结果分析 36
2.3坐标变换思想在圆柱坐标系和球坐标系导热方程中的应用 38
2.3.1基于坐标变换的圆柱坐标系导热型方程及其离散38
2.3.2基于坐标变换的殊坐标系导热型方程及其离散 39
2.3.3物理问题与结果分析 40
2.4非结构化三角形网格内外节点布置方式比较研究 42
2.4.1非结构化三角形网格内外节点布置方式比较43
2.4.2物理问题与结果分析 46
2.5非结构化三角形和四边形网格内节点法计算性能研究 49
2.5.1计算精度和收敛速度的理论分析 50
2.5.2物理问题与结果分析 51
2.6二维圆柱坐标系下对流扩散方程的非结构化网格离散方法 53
2.6.1 圆柱坐标系下三角形网格界面面积矢量及控制容积计算方法 53
2.6.2物理问题与结果分析 57
2.7实施边界条件的二阶附加源项法 59
2.7.1附加源项法的实施方法 59
2.7.2物理问题与结果分析 61
2.8与时间步长无关的动量插值方法 63
2.8.1RhieChow动量插值63
2.8.2Choi动量插值 66
2.8.3与时间步长无关的动量插值 66
2.8.4物理问题与结果分析 68
2.9小结 69
参考文献 70
第3章离散方程与对流差分格式的性质 73
3.1 边界和物性参数显式处理引起的相容性问题 73
3.1.1内点采用隐式格式、边界显式处理的相容性分析 73
3.1.2待求变量采用隐式格式、物性采用显式更新的相容性分析 74
3.1.3物理问题与结果分析 75
3.2寄恒型与非守恒型方程离散计算性能对比77
3.2.1计算精度对比77
3.2.2稳定性对比 78
3.2.3计算效率及稳健性对比 80
3.3有界格式的稳定性、截差精度与计算效率 80
3.3.1有界格式的稳定性证明81
3.3.2有界格式的截差精度 85
3.3.3有界格式的计算效率 89
3.4小结90
参考文献90
第4章多重网格方法 92
4.1几何多重网格实施步骤及注意事项92
4.1.1几何多重网格的实施步骤92
4.1.2几何多重网格实施中的注意事项 95
4.2CS格式余量限定算子构建的守恒原理96
4.2.1问题的提出96
4.2.2积分型和微分型离散方程**余量限定算子98
4.2.3满足能量不平衡量等量传递的余量限定算子100
4.3求解非线性问题的多重网格延拓松弛方法100
4.3.1多重网格延拓松弛方法100
4.3.2物理问题与结果分析101
4.4代数多重网格简介及注意事项104
4.4.1代数多重网格与几何多重网格的区别104
4.4.2代数多重网格的实施步骤104
4.4.3代数多重网格实施中的注意事项 106
4.5基于局部信息优先原则的网格粗化策略109
4.5.1经典网格粗化策略的不足109
4.5.2基于局部信息优先原则的网格粗化策略111
4.5.3物理问题与结果分析113
4.6小结117
参考文献118
第5章收敛标准和基准解121
5.1基于规正余量的收敛标准121
5.1.1影响余量大小的因素分析121
5.1.2基于规正余量的收敛标准124
5.1.3物理问题与结果分析125
5.2规则计算区域上若干流动与传热问题的基准解130
5.2.1物理问题与计算条件131
5.2.2基准解133
5.3非规则计算区域上若干流动与传热问题的基准解143
5.3.1物理问题与计算条件144
5.3.2基准解145
5.4小结151
参考文献151
第6章POD低阶模型及其应用153
6.1 POD简介153
6.1.1 POD基函数153
6.1.2样本矩阵156
6.1.3谱系数156
6.2 导热PODGalerkin低阶模型157
6.2.1直角坐标下导热PODGalerkin低阶模型157
6.2.2基于贴体坐标的导热PODGalerkin低阶模型169
6.3对流换热PODGalerkin低阶模型 175
6.3.1直角坐标下的对流换热PODGalerkin低阶模型175
6.3.2基于贴体坐标的对流换热PODGalerkin低阶模型180
6.4小结188
参考文献189
附录191
附录1随堂测试题191
附录1. 1控制方程、边界条件及计算区域的离散191
附录1. 2离散方程的误差与物理特性193
附录1.3扩散方程的离散194
附录1.4对流扩散方程的离散195
附录1.5压力速度耦合求解算法198
附录1.6离散方程的求解198
附录1.7贴体坐标与非结构化网格199
附录2编程训练题及要求200
附录2.1编程训练题200
附录2.2编程训练要求203
附录2.3编程训练答辩要求203
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| 內容試閱：
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第1章非结构化四边形网格铺砌法
网格的合理设计和高质量生成是进行数值模拟的前提条件，也是影响后续数值计算效率和计算结果精度的决定性因素之一［1，2］。随着工程实际问题所涉及的计算区域趋向复杂化和不规则化，如何提高网格对复杂几何形状的计算区域的适应能力和灵活性，同时减少网格生成过程中的人工工作量，对数值传热学和计算流体力学的进一步推广应用具有非常重要的意义［3］。非结构化四边形网格相对于非结构化三角形网格具有更好的性能，因而越来越受到重视。本章首先简要介绍非结构化四边形网格生成技术，尤其是目前普遍采用的铺砌法，然后详细阐述笔者对传统铺砌法中网格尺寸的控制和交叉情况判断及处理所做的改进工作。
1.1非结构化四边形网格生成技术概述
依据网格节点的几何拓扑关系，流动与传热数值计算常用的网格可分为结构化网格与非结构化网格。与结构化网格相比，非结构化网格因其具有节点几何拓扑关系灵活、便于控制网格尺寸分布、易于实现局部加密和自适应处理等优点，更适用于复杂不规则区域的网格剖分。
在二维非结构化网格自动生成的研究中，应用*为广泛的两类网格是三角形网格和四边形网格。目前，三角形网格的生成技术已趋于成熟，而四边形网格的自动生成技术还不够完善，而且研究人员一般认为，在网格数目相同的情况下，高质量四边形网格的计算精度和效率要优于三角形网格［4，5］，Yu等［6］从误差分析的角度给出了三角形网格和四边形网格在获得相同计算精度时二者网格数的定量关系，基于收敛过程的本质，提出网格尺寸是影响收敛速度的主要因素。研究结果表明，四边形网格在计算精度和收敛速度方面均优于三角形网格。因此，对复杂不规则区域快速生成高质量的非结构化四边形网格已成为非结构化网格生成技术研究领域中的热点和难点。
自20世纪80年代以来，经过30余年的发展，非结构化四边形网格生成技术已经取得了长足的进步，国内外研究人员提出了多种不同的方法进行网格剖分，一般来说，这些方法可以分为间接法和直接法两大类。
1.1.1间接法
当采用间接法进行非结构化四边形网格生成时，计算区域首先用三角形网格进行离散，之后再通过不同的方法将三角形网格转化成四边形网格。Lo［7］提出了一种通过删除相邻三角形网格的公共边从而生成四边形网格的算法，这种方法实施较为简便，但无法保证所有三角形网格都能转化成四边形网格。在此基础上，Lee和Lo［8］提出了针对Lo［7］先前算法的改进方法，引入了局部三角形网格分裂和交换的操作，避免了残余三角形网格的出现。类似地，将三角形网格转化为全四边形网格的算法也被Johnston等［9］所提出。此外，Zhu等［10］提出了一种前沿推进的间接算法，在推进前沿的同时将两个三角形网格合并生成一个四边形网格。Petersen［11］和Merhof等［12］还分别提出了基于网格分级和区域分块思想的非结构化四边形网格间接生成算法。
采用间接法时，四边形网格在已生成的三角形网格上获得，可以实现较好的网格尺寸控制，并且由于三角形网格生成技术已非常成熟，使得间接法的健壮性很令人满意。但通过间接法得到的四边形网格和直接法生成的网格相比，质量普遍较差，这也使得间接法不如直接法应用广泛。
1.1.2直接法
直接法是对计算区域直接生成四边形网格而不预先生成三角形网格的算法，一般可归为两类。**类方法称为“区域分解法”（domain decomposition method），这类方法通过一定的规则将计算区域逐级细分至简单区域从而生成四边形网格，Baehmann等［13］、Talbert和Parkinson［14］、Tam和Armstrong［15］及Joe［16］分别提出了具有代表性的此类算法。这类方法通过区域递归分解可以提高网格的生成速度，但健壮性和边界附近的网格质量都不理想。
第二类方法称为“前沿推进法”（advancing front method），这类方法是从布置在计算区域边界上的初始节点开始生成新网格，逐渐向区域内部推进直至整个区域都被四边形网格铺满。Zhu等［10］较早开始了这方面的工作，之后Blacker和Stephenson［17］提出了名为“铺砌法”（paving method）的算法，该方法是从计算区域的外部向内部逐行生成四边形网格，直至整个区域被离散完毕。铺砌法具有生成网格边界吻合性好、不规则节点数量少、网格间拓扑关系稳定等优良特性［17］，在提出后得到了广泛的重视和应用。
然而，传统的铺砌法同样存在一些不足之处。由于缺乏明确数学理论的支持，铺砌法在生成非结构化四边形网格的过程中不可避免地会遇到网格重叠或网格边距离过近的情况，传统方法在处理这些情况时，需要遍历所有的网格生成边，所以计算效率较低。另外，对于不同边界初始节点密度相差很大的情况，如何保证网格尺寸的均匀过渡也是铺砌法面临的一大难题。尽管很多研究人员都对上述两个问题提出了自己的解决办法，但大部分方法都有其自身的局限性。由此看来，开发可靠的高质量非结构化四边形网格生成方法仍是一项具有挑战性的课题［18］。
由上述可见，在控制网格整体尺寸分布和高效交叉判断处理等方面，传统的铺砌法还存在较大的改进空间。笔者提出了不同于以往研究者的改进思路和实施方法［19，20］，实现了复杂计算区域的高质量非结构化四边形网格剖分，下面对这一工作予以介绍。
1.2改进的非结构化四边形网格铺砌法
1.2.1传统铺砌法的基本原理
铺砌法是一种直接生成非结构化四边形网格的前沿推进法，该算法具体实施时不必事先生成三角形网格或在计算区域内部布置节点，而是根据固定边界上初始离散节点的位置直接生成四边形网格单元，向计算区域内部层层推进，直至整个区域被四边形网格填满，如图1.2.1所示。
图1.2.1铺砌法生成网格基本过程
1.2.2传统铺砌法的实施步骤
由于缺乏数学理论的支持，加上非结构化四边形网格自身复杂的拓扑特性，铺砌法采取了一系列严格控制的步骤来保证网格生成的质量和整个过程的稳定性，在详细阐述铺砌法具体的实施步骤前，有必要对其中涉及的特定术语及注意事项进行简要介绍。
在采用铺砌法生成非结构化四边形网格前，首先要确定计算区域固定边界的数量和其上固定节点的几何位置信息。若计算区域为单连通区域，则只有一条固定边界；若计算区域为多连通区域，则存在多条边界，并且可以根据各边界的相对位置进一步将其划分为内部固定边界和外部固定边界，如图1.2.2所示。一旦初始的固定边界确定，在整个非结构化四边形网格生成过程中，固定边界上节点的位置和彼此间的连通关系均保持不变。
图1.2.2边界分类
对于某一计算区域，一般只有一条外部固定边界，内部固定边界可以有多条，为了保证网格生成过程的顺利进行，固定边界上的节点之间不能交叉并且每条边界要完全封闭。外部固定边界上的节点一般按照逆时针方向布置，而内部固定边界上的节点一般按照顺时针方向布置，并且所有的内部固定边界都要在外部固定边界内闭合，各固定边界彼此之间也不能存在任何交叉的情况。
在实际的网格生成过程中，算法操作的是铺砌边界，铺砌边界的形状随着网格的生成而不断变化，初始的铺砌边界也就是*初的固定边界，随着非结构化网格不断生成，铺砌边界就会逐渐远离其自身所在的固定边界。和固定边界类似，铺砌边界也分为内部铺砌边界和外部铺砌边界，外部铺砌边界从外部固定边界出发，沿逆时针方向在其上生成网格，而内部铺砌边界从内部固定边界出发，沿顺时针方向在其上生成网格。
在各个边界上的节点也可以根据其所在边界的性质进行分类，固定边界上的节点通常称为固定节点，铺砌边界上的节点则称为动态生成节点，每个铺砌边界上的节点都有一个内角值，这个内角是由连接当前节点和其前后两个节点的两条线段所构成的，如图1.2.3所示。图1.2.3节点及其内角
此外，应注意生成全四边形的计算网格时需保证每条铺砌边界上的网格节点数都必须为偶数。
在熟悉铺砌法的基本术语后，下面将对铺砌法的主要实施步骤作进一步的介绍。
1） 输入初始条件
需要输入的初始条件主要包括内外固定边界的数量，各个边界的尺寸或形状，各个边界上所要布置的固定节点数量、密度及方式。
2） 离散固定边界
根据输入的初始条件，在各个固定边界上生成初始固定节点，并储存各固定节点的编号和坐标信息。这些节点的坐标位置和彼此间的连通关系在网格生成的整个过程中都不会改变。常用的布置固定节点的方法主要有均匀布点法和非均匀布点法两种。
1 均匀布点法主要适用于不需要进行局部加密的网格生成情况，生成的各个网格尺寸基本相同。布点时某一边界上的应布点数N将边界长度L分为N-1份，步长即为LN－1，所有节点在该边界上均匀分布。
2 非均匀布点法主要适用于需要进行局部加密的网格生成情况，这在实际问题中更为常见，例如，数值模拟埋地热油管道的热力影响区域时，距离管壁较近的土壤温度梯度较大，要求的计算精度相对于其他区域也就更高，所以管道附近的土壤区域网格布置得要更细密一些，这时需要采用等差法或等比法进行非均匀布点。
3） 网格生成边的分类与选取
如图1.2.4所示，在生成新网格前，每一段铺砌边界上的网格生成边通常根据Owen等［21］提出的Q Morph法中的标准进行分类和状态值标定。网格生成边的状态值取决于其首末两个网格节点的内角值，并会决定接下来该条边采取何种方式生成新网格。
图1.2.4网格生成边的分类
4） 新网格生成
在新网格生成前，新节点会首先生成。新节点是由铺砌边界上的网格节点生成的，一般以相邻三点为基础，并以一定的角度和方向在目标区域内部投射而成。由于区域形状的不规则性，节点的内角值会存在比较大的差异，不同的内角值对应于不同的新节点生成算法，所以首先要进行节点的角度计算与分类。
假设新节点的生成是以当前边界上相邻的三点Ni-1、Ni、Ni+1为基础进行的，令节点Ni的内角为α，节点Ni-1到节点Ni的距离为d1，节点Ni到Ni+1的距离为d2，则利用余弦定理计算出Ni的内角值α后，通常采用下面的方法对节点进行分类［17］：①终止节点0°α≤135°；②边界节点135°α≤225°；③角节点225°α≤315°；④转节点315°α≤360°。
分类完毕后，针对不同类型的节点采取相应的算法生成新节点，具体步骤可采用传统铺砌法［17］或Q Morph法［21］中的步骤，图1.2.5a~图1.2.5d依次表示终止节点、边界节点、角节点和转节点生成新节点的方法，下面就对这四种情况逐一进行简单介绍。
图1.2.5网格生成边的节点分类
1 终止节点生成新节点。
由于终止节点本身内角值较小，如果以其为基点生成新节点，很有可能会出现小角度情况，给后续处理带来麻烦，所以一般采用的做法是遇到终止节点不生成新节点而是直接连接已经存在的两个节点形成一个四边形单元。如图1.2.5a所示，Ni为一终止节点，Ni-1和Ni+1分别为Ni的前一节点和后一节点，直接连接Ni-1生成的新节点Nj与Ni+1即可封闭形成一个新的四边形单元。
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